偏微分方程数值解法考试题

2014—2015学年第二学期研究生期末考试试卷学院：数信学院考试对象：2014级计算数学专业硕士研究生课程名称：偏微分方程数值解法课程类型：学位专业课考试方式：开卷考试时间：120分钟答题要求：请把答案写在答题纸上，写在试卷上无效。本卷共5题，每题20分。一．(40分)对求解抛物型方程的初边值问题0,(0,2),0,(,)(2,),(,0)sin(),(0,2),txxuuxtuxtuxtuxxx的常用的差分方法进行归纳总结，分析它们各自的优缺点，算出其精确解，用前面的数值方法模拟此问题，验证得到的有关结论的正确性。二．（20分）设12[0,][0,]ll，,uv为确定在12hhII上的网函数，且在满足齐次边界条件，h表示Laplace差分算子hxxxxuuu，为h的特征值，求证：(i)算子h是自共轭的，(,)(,)hhuvuv。(ii)算子h是正定的，2(,)huuu，其中1min022288ll。(iii)有下列估计式22(,),huuuu其中1max022244ll。三．（20分）用Fourier分析方法证明四阶抛物型方程的周期初值问题00,(0,),0,(,)(,),(,0)(),(0,),txxxxuuxLtuxtuxLtuxuxxL的差分格式，（其中222221(2)nnnnxjjjjuuuuh），是绝对稳定的，其截断误差为222(())Ohh。四．(20分)用能量不等式方法讨论变系数对流方程的初值问题(,)0,,0,(,0)(),,txuaxtuxRtTuxgxxR(,)0axt，的差分格式11100,(),nnnnjjjjnjjjuuahugx的稳定性。