偏微分方程论文

偏微分方程数值解法[摘要]偏微分方程课程主要介绍了求一阶拟线性偏微分方程、波动方程、热传导方程及位势方程的解析解。本文受此启发，并结合所学数值计算方法知识，介绍几种偏微分方程的数值解法。1.背景现实世界中，许多实际问题可归结为微分方程的定解问题。很多情况下，人们无法或不方便求出这些问题的解析解，从而要求它们的数值解。因此，需要了解偏微分方程的数值解法。2.内容(一)双曲型方程xxxu),()0,(初值条件将x-t平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,0jjtttkkhxxjk用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数),~(2),(),1()~,(2),()1,(,,jxuhhjkujkuxutkujkujkutuxjktjk),~(62),1(),1()~,(62)1,()1,(2,2,jxuhhjkujkuxutkujkujkutuxjktjk方程变为0),(),(),1(),()1,(1hRhjkujkuajkujku略去误差项，得到差分方程0,,1,1,huuauujkjkjkjk＋＋加上初始条件，构成差分格式kkjkjkjkjkuuuaruu0,,,1,1,)(＋＋0xuatuLu(二)抛物型方程TtbxubtuLu0,0022)(g)t,1(),(g)t,0();10(),()0,(2),()0,(121xuxuxxxuxxxu）初边值混合问题（）初值问题（定解条件有两类：将x-t平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,0jjtttkkhxxjk用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数),~(12),1(),(2),1()~,(2),()1,()4(22,22,jxuhhjkujkujkuxutkujkujkutuxjktjk则方程变为0),(),1(),(2),1(),()1,(12hRhjkujkujkubjkujku略去误差项，并令s＝τ/h2得到差分方程)2(,1,,1,1,jkjkjkjkjkuuubsuu＋＋边界条件差分化（第二、三类边界条件）),~(2),(),(),~(2),0(),(1,1,0txuhhtxutxuxutxuhhtuthuxuxNNtxt得显式格式,2,1,0)(),(1,,2,1)(,2,1,0,1,,2,1)2(2,1,00,,1,,1,1,jjgujguNkkhujNkuuubsuujNjkjkjkjkjkjk＋＋(三)椭圆形方程),(f2222yxyuxuu边值问题),(),(),(),(f2222yxyxuyxyxyuxuu将x-y平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,jjyykkhxxjk用(k,j)表示网格节点(xk,yj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数)~,(12)1,(),(2)1,(),~(12),1(),(2),1()4(22,22)4(22,22ykuhjkujkujkuyujxuhhjkujkujkuxuxjkxjk方程变为jkfhRjkujkujkuhjkujkujku,122),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(略去误差项，得到差分方程jhjkjkjkjkjkjkfuuusuuuh,1,,1,2,1,,12)2(1)2(1＋