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第4章平行四边形4.3中心对称中心对称图形例1观察图中的图形，说出哪些是轴对称图形，哪些是中心对称图形.分析：判断轴对称图形的关键是确定对称轴，把图形分成两部分，如果两部分沿对称轴对折能重合就是轴对称图形；而中心对称图形，则是要绕着一点旋转180°能与自身重合.解：轴对称图形有：（1）（2）（4）（5）中心对称图形有：（2）（4）注意点：一个图形有可能既是轴对称图形又是中心对称图形，轴对称图形的对称轴可能不止一条.变式：如图，已知矩形ABCD，AB在y轴上，AB=2，BC=3，点A的坐标为（0，1），在AD边上有一点E（1，1），过点E的直线平分矩形ABCD的面积，则此直线的解析式为.答案：由题意可得出：矩形ABCD的对角线交于点（1.5，0），直线EF平分矩形ABCD的面积，设直线EF的解析式为：y=kx+b，则解得：∴直线的解析式为：y=-2x+3，故答案为y=-2x+3.0bk5.1,1bk3b,2k例2在直角坐标系内，点A（2a，a+b-1），B（-b，a-1）关于原点对称，求a+b的值.中心对称图形的性质注意点：点P（x，y）关于原点的对称点坐标为（-x，-y）.解：∵A（2a，a+b-1）与B（-b，a-1）关于原点对称，∴解得∴a+b=.分析：根据中心对称的性质，A，B两点到坐标轴的距离相等，所以A点的横、纵坐标与B点横、纵坐标互为相反数.2a=b，a+b-1=1-a，a=，b=1.2123变式：如图，在平面直角坐标系中，MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标为（）A.（-3，-2）B.（-3，2）C.（-2，3）D.（2，3）答案：A平行四边形的中心对称性的运用例3在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形的ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？分析：由于平行四边形是中心对称图形，故只要过它的对称中心画直线即可.解：（1）无数（2）如图（3）两条直线过平行四边形的对称中心（即对角线的交点）.注意点：我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心，通过上面的作图，我们发现，只要过对称中心作一条直线，就能将平行四边形分成全等的两部分，于是我们得出结论：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线把这个图形分成全等的两部分.例4如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）.（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标.中心对称分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可.（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标是多少即可.解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）.（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4-2=2，∴B，C的坐标分别是（-2，4），（-2，2），∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上可得，顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（-2，4），（-2，2），（2，1），（2，3）.注意点：（1）解答此题的关键之一是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.（2）解答此题的关键之二是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.例1下列几何图形中，①一条线段；②平面上的两条直线；③等边三角形；④平行四边形；⑤等腰三角形，其中一定是中心对称图形的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个正答：B.错因：对中心对称图形的概念不清楚.特别是把②当作错的.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键，需要注意，②容易判断错误.错答：A例2下列图形是中心对称图形的是（）正答：C错因：对中心对称图形的概念不清楚，没有抓住中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.错答：B或D