八年级数学下册5.1矩形(第1课时)例题选讲课件(新版)浙教版

第5章特殊平行四边形5.1矩形（第1课时）矩形的性质例1如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE.（1）按边分类，△AOB是三角形；（2）猜想线段AE，CF的大小关系，并证明你的猜想.分析：（1）由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD；（2）若猜想AE=CF，则可以证明这两条线段所在的两个三角形全等，即△ADE≌△CBF，也可以证明AE，CF所在的四边形AECF是平行四边形.解：（1）等腰（2）AE=CF证明：如图，连结AF，CE.由四边形ABCD是矩形，得OA=OC，OB=OD.∵DE=BF，∴OE=OF.∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF.注意点：证明两条线段相等的方法有很多，通常的思路是：（1）当两条线段位于一个三角形中时，可以借助于“等角对等边”来证明；（2）两条线段不在一个三角形中时，可以借助于两三角形全等来证明；（3）当两条线段是一个四边形的两条对边时，可以借助于证明这个四边形是平行四边形来证明等.变式：如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.答案：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD.∴AO=BO.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD=45°.又∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°.∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB，∠ABO=60°.∴∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°.212121∵∠BEA=90°-∠BAE=45°=∠BAE，∴AB=BE.∴OB=BE.∴∠BOE===75°.2∠OBE180203180与矩形有关的折叠问题例2如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予说明.分析：（1）可由∠B′FE=∠BFE=∠B′EF，得B′E=B′F=BF；（2）由于B′E=BF=c，A′B′=AB=b，A′E=AE=a，故由勾股定理可求得a，b，c之间的关系.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠B′EF.由题意可得∠B′FE=∠BFE，B′F=BF，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′E=B′F=BF.（2）a2+b2=c2.理由：∵∠A′=∠A=90°，∴B′E2=A′B′2+A′E2.由（1）可知B′E=BF=c，由已知可知A′B′=AB=b，A′E=AE=a，∴a2+b2=c2.注意点：图中折叠矩形，则△B′FE是一个等腰三角形，这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用.矩形的综合问题例3如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连结EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．3分析：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形即可得证；（2）连结OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．证明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）如图，连结OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∵BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB==6.AE＝CF，∠BAC＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，3322223234BCAC注意点：本题要结合基本图形，运用了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．例1如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G.已知∠EFG=58°，那么∠BEG=.错答：由于AD∥BC，所以∠CEF=∠EFG=58°.再根据折叠，得∠BEG=∠GEF==61°.正答：∠BEG=180°-2×58°=64°.2CEF∠180错因：矩形的折叠问题是中考的常见题型，要注意折叠后的图形与原图的折叠部分关于折叠线成轴对称.此解法折叠对应的两个角∠CEF=∠FEG找错了，造成错误，由于矩形纸片ABCD沿EF折叠，所以∠CEF=∠FEG.而AD∥BC，所以∠CEF=∠EFG=58°，所以∠BEG=180°-2×58°=64°.故填64°.例2在矩形ABCD中，已知AB=a，对角线AC与BD相交所成的锐角为60°.试求矩形对角线的长.错答：如图1，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OB=OC.∴∠ACB=30°，AC=2AB=2a.正答：（1）当AB边是矩形中较短边时，如错解，求得对角线AC的长为2a.（2）当AB边是矩形中较长边时，如图2，在矩形ABCD中，∠AOD=60°.根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA=OB=OD=AD.故AD为BD的一半.设AD=x，则有x2+a2=(2x)2.解得x=a，∴BD=2AD=a.∴矩形对角线的长为2a或a.错因：由于题设中没有指明AB边是较短边，还是较长边，故需按所有可能情况分类讨论.33332332