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1《分组分解法》例题精讲与同步练习【基础知识精讲】1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.例如：把x2-y2+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意：1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，2ab-a2-b2+1=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b)【重点难点分析】1.重点难点分析重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.2.典型例题解析例1分解因式2a3+a2-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.解2a3+a2-6a-3=(2a3+a2)-(6a+3)=a2(2a+1)-3(2a+1)=(2a+1)(a2-3)例2分解因式4x2-4xy+y2-16z2分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.解4x2-4xy+y2-16z2=(4x2-4xy+y2)-16z2=(2x-y)2-(4z)2=(2x-y+4z)(2x-y-4z)例3分解因式ax-ay-x2+2xy-y2分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.2解ax-ay-x2+2xy-y2=(ax-ay)-(x2-2xy+y2)=a(x-y)-(x-y)2=(x-y)(a-x+y)例4把(x2+y2-1)2-4x2y2分解因式解(x2+y2-1)2-4x2y2=(x2+y2-1)2-(2xy)2=[(x2+y2-1)+2xy][(x2+y2-1)-2xy]=[(x2+2xy+y2)-1][(x2-2xy+y2)-1]=[(x+y)2-1][(x-y)2-1]=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)例5分解因式x(x-1)(x-2)-6分析考虑去掉括号，重新分组.解x(x-1)(x-2)-6=x3-3x2+2x-6=(x3-3x2)+(2x-6)=x2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x2+2)【难题巧解点拨】例6分解因式a4+4分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.解a4+4=a4+4a2+4-4a2(添拆项)=（a4+4a2+4）-4a2(分组)=(a2+2)2-(2a)2（完全平方公式）=(a2+2a+2)(a2-2a+2)(平方差公式)点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.例7已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.分析由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.解由x2+10xy+25y2-1=0可得(x+5y)2-1=0即(x+5y+1)(x+5y-1)=0当x+5y+1=0时x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=2x2【命题趋势分析】熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.3【典型热点考题】例8把2x3+x2-6x-3分解因式.(沈阳中考题)解2x3+x2-6x-3=(2x3+x2)-(6x+3)=x2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x2-3)例9把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式.(广州中考题)解abx2-aby2-a2xy+b2xy=(abx2-a2xy)+(b2xy-aby2)=a(bx-ay)+by(bx-ay)=(bx-ay)(ax+by)点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.例10把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab.(长春中考题)解法一xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab)=x(y-a+b)+a(y-a+b)=(y-a+b)(x+a)解法二xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab)=y(x+a)-a(x+a)+b(x+a)=(x+a)(y-a+b)点评本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.【同步达纲练习】一、填空题(4分×10=40分)1.x2+2y-y2+2x=(x+y)().2.因式分解x2+xy-3x-3y=.3.因式分解1-a2+2ab-b2=.4.因式分解x5+x4+x3+x2=.5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab=.6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy=.7.分解因式2x-2y+4xy-1=.48.分解因式a4b-a2b3+a3b2-ab4=.9.若a-b=2,a-c=4,则b2-2bc+c2+3(b-c)=.10.分解因式a2-b2+4a+2b+3=.二、分解因式（10分×6=60分）11.ab+bc-cd-da12.x3-xyz+x2y-x2z13.y2-x2+6x-914.x-+2xy+y2-ax-ay15.6x(m-n)-2m+2n16.4x2-4y2+4y-1参考答案：【同步达纲练习】一、1.(x-y+2)2.(x+y)(x-3)3.(1+a-b)(1-a+b)4.x2(x+1)(x2+1)5.(a+b)(x-y+a)6.(a-x)(b+2y-3c)7.(2y+1)(2x-1)8.(ab(a-b))(a+b)29.1010.(a+b+1)(a-b+3)二、11.原式=(a+c)(b-d)12.原式=x(x+y)(x-z)13.原式=(y+x-3)(y-x+3)14.原式=(x+y)(x+y-a)15.原式=2(m-n)(3x-1)16.原式=(2x+2y-1)(2x-2y+1)