八年级数学下册专题复习在动点中来探究四边形的形状

1八年级数学下册专题复习：在动点中来探究四边形的形状编写：赵化中学郑宗平例1.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．⑴.判断OE与OF的大小关系？并说明理由？⑵.若,=CF5CE12,求CO的长？⑶.当点O运动到AC的何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由.分析：⑴.由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出,1536，则,OEOCOFOC；等量代换后OE=OF.⑵.CO是△ECF的EF的中线，根据题中的提供的数据，无非△ECF是特殊三角形才能求出CO；若△ECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，可以证得ECF90o．⑶.本问关键是抓住不变的是什么？变的是什么？在本问中不变的是,OEOFECF90o,而点O在AC的位置是发生变化的.要证四边形AECF是矩形，已经知道ECF90o，证明四边形AECF是矩形的思路有两条，一是“有三个角是直角的四边是矩形”；二是“有一个角为直角的平行四边形是矩形”；由于EFAC、恰好是四边形AECF的对角线，并且有OEOF（即点O为EF的中点），所以我们考虑用后面一种方法；也就是点O同时为AC的中点,即构成了对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上ECF90o，所以四边形AECF是矩形.略解：⑴.∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F∴,1234∵MN∥BC∴,2546∴,1536∴,OEOCOFOC∴OEOF⑵.∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F∴,1234∴,111ACB3ACD22∴1113ACBACD1809022oo.∴222EFCFCE∵,=CF5CE12∴2222EFCFCE51216913.∵ECF90o,OEOF∴.11COEF136522⑶.点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下：∵,OAOCOEOF∴四边形AECF是平行四边形；又ECF90o∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）例2.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t(s)．⑴.若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动.当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．⑵.当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形(等腰梯形即两腰相等的梯形)．分析：FEBACOMN1243652⑴.根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形；P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以根据题中条件用t的代数式分别表示出PD、CQ，再由PD=CQ列方程求解即可．⑵见图若四边形PQCD为等腰梯形.由BC-AD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，所以根据题中条件用t的代数式分别表示出CQ、PD,再由CQ-PD=4cm列方程求解即可出本问的答案.略解：⑴.分为两种情况①.如果P在线段AD上（见图示红色虚线），则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形.∴24-3t=t，解得：t=6（s）；∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；②.如果P在线段AD的延长线上（见图示蓝色虚线）.则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，即3t-24=t，解得：t=12（s）；∴当t=6或12s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．⑵.由题中条件可知BC-AD=2cm.过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E.当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，易证△PFQ≌△DCE，EF=PD.∴QF=CE=2cm∴当CQ-PD=QF+CE=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形；∴t-（24-3t）=4∴t=7（s）∴当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形.变式:本例若题中的条件不变，把两个问改为“当t为何值时，PQ=CD?”又将作何解答？点评：解答本专题的两个例题要抓住题中不变的是什么？变的是什么？解题时更需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想；由于是动点，要注意动点“活动”的范围，解答时要进行分段、分类讨论．追踪练习：已知矩形ABCD中，,AB4cmBC8cm，AC的垂直平分线EF分别交ADBC、于点EF、，垂足为O.⑴.如图甲，连接AFCE、.求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；⑵.如图乙，动点PQ、分别从AC、出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中：①.已知点P的速度每秒5cm，点Q的速度每秒4cm,运动时间为t秒，当点ACPQ、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.②.若点PQ、的运动路程分别为ab、（单位：cm，ab0），已知ACPQ、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，写出a与b满足的数量关系.（直接写答案，不要求证明）PQPQFEODABC甲FEDABCPQ乙FEDABCPQ备用图