傅里叶变换和拉普拉斯变换

一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数tf满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即dtetfjFtj(正变换)(5.1)dejFtftj21(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号tU，斜变信号ttU，单边正弦信号ttUsin等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号tUeat0a等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号tf总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号tf接入系统的时刻作为0t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有tf=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为dtetfjFtj0(5-3)式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在0t的时刻tf中有可能包含有冲激函数t。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是)，不过此时要在公式后面标以t＞0，意即只有在t＞0时tf才有定义，即dejFtftj21t＞0(5-4a)或用单位阶跃函数tU加以限制而写成下式，即tUdejFtftj21(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数tf不满足绝对可积条件时，可采取给tf乘以因子te（为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数tetf。今若能根据函数tf的具体性质，恰当地选取的值，从而使当t时，函数0tetf，即满足条件0limttetf则函数tetf即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子te起着使函数tf收敛的作用，故称te为收敛因子。设函数tetf满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有dtetfdteetfjFtjtjt00在上式中，j是以j的形式出现的。令js，s为一复数变量，称为复频率。的单位为s1，的单位为srad/。这样，上式即变为dtetfjFst0由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将jF改写为sF，即dtetfsFst0(5-5)复变量函数sF称为时间函数tf的单边拉普拉斯变换。sF称为tf的像函数，tf称为sF的原函数。一般记为tfLsF符号1L为一算子，表示对括号内的时间函数tf进行拉普拉斯变换。利用式(5-4)可推导出求sF反变换的公式，即desFetftjt21对上式等号两边同乘以te，并考虑到te不是的函数而可置于积分号内。于是得desFdesFdeesFtfsttjtjt212121(5-6)由于式(5-6)中被积函数是sF，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因js故jddds(因为任意实常数)故dsjd1且当时，js；当时，js。将以上这些关系代入式(5-6)即得dsesFjtfstjj210t(5-7a)写成tUdsesFjtfstjj21(5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数sF求与之对应的原函数tf。一般记为sFLtf1符号1L也为一算子，表示对括号内的像函数sF进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为sFtf或tfsF若tf不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为()，即dtetfsFst(5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即jFtf而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即sFtf.三、复频率平面以复频率js的实部和虚部j为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：j轴以左的区域为左半开平面；j轴以右的区域为右半开平面；j轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数tf乘以收敛因子te后，所得新的时间函数tetf便有可能满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视tf的性质与值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因dteetfdtetfsFtjtst00由此式可见，欲使sF存在，则必须使tetf满足条件0limttetf0j平面s0收敛域收敛坐标图5-2式(5-9)中的0值指出了函数tetf的收敛条件。0的值由函数tf的性质确定。根据0的值，可将s平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。通过0点的垂直于轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，0称为收敛坐标。收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域。可见tf或sF的收敛域就是在s平面上能使式(5-9)满足的的取值范围，意即只有在收敛域内取值，tf的拉普拉斯变换sF才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这0sResjjIm左半开平面右半开平面图5-1些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。表5-1拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称tUtfsF1唯一性tfsF2齐次性tAfsAF3叠加性tftf21sFsF214线性tfAtfA2211sFAsFA22115尺度性)(atf，0aasFa16时移性00ttUttf，00tstesF07时域微分atetfasF8复频微积分tf0fssFtf002fsfsFstfn0001'21nnnnffsfssFs9复频移性ttfdssdF11ttfn)(nnndssFd110时域积分tdf0ssF11复频域ttfssF积分12时域卷积tftf21sFsF2113复频域卷积tftf21sFsF2121π14初值定理ttf0cos)(2100jsFjsFttf0sin)(2100jsFjsF15终值定理ssFtffttlimlim0016调制定理ssFtfftt0limlim利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数tUtf的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数sF或原函数tf表5-2拉普拉斯变换表序号tUtfsF1t12tnns3tUs14t21s5nt1!nsn6ateas17atte21as8atnet1!nasn9tjejs110tsin22s11tcos22ss12teatsin22as13teatcos22asas14ttsin2222ss15ttcos22222ss16tsh22s17tch22ss180)(nnTtsTe11190)(nnTtfsTesF1)(0200)()(nnTtUnTtU,TsTsese11七、拉普拉斯反变换从已知的像函数sF求与之对应的原函数tf，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。1由于工程实际中系统响应的像函数sF通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦即是s的一个有理分式，即01110111asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm(5-10)式中，0a,1a,…,1na和1b,2b,…,mb等均为实系数；m和n均为正整数。故可将像函数sF展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数tf。欲将sF展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当nm时，应先用除法将sF表示成一个s的多项式与一个余式sDsN0之和，即sDsNBsBsBsDsNsFnmnm001，这样余式sDsN0已为一真分式。对应于多项式01BsBsBsQnmnm各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激函数本身。所以，在下面的分析中，均按sDsNsF已是真分式的情况讨论。分两种情况研究：(1)分母多项式00111asasassDnnn的根为n个单根1p2pipnp。由于0sD时即有sF，故称0sD的根ip(i=1,2,…,n)为F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即nniinimmmmpsKpsKpsKpsKpspspspsbsbsbsbsDsNsF221121111(5-11)式中，iK(i=1,2,…,n)为待定常数。可见，只要将待定常数iK求出，则sF的原函数tf即可通过查表5-2中序号6的公式而求得为tUeKeKeKeKeKtfnitpitpntpitptpini12121待定常数1K按下式求得，即ipsiipssDsNK(5-12)现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以ips，即有inniiiipspsKKpspsKpspsKpssF2211由于此式为恒等式，故可取ips代入之，并考虑到21ppipp2inpp，