傅里叶级数

1.级数展开和完备性内积（Innerproduct）：给定区间[,]ab，对实函数，(,)()()bafgfxgxdx；如果是复函数，(,)()()bafgfxgxdx。由内积，可定义范数（距离），||||(,)fgfgfg。正交：(,)0fg。算子的特征值和特征函数：Aff，0f。结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。正交系：{,1}nXn，(,)nmmnXX。给定正交系下函数()fx的级数展开：1()~nnnfxcX，其中(,)nncfX完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()nnnfxcX？Bessel’sinequality:221||||nnfc。由此：级数在2L意义下是收敛的。证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNNnnnnnnnnnnEfcXfcfXcfc，令N即得。Parsevalequality:221||||nnfc。由此：如果Parsevalequality成立，则21NLnnncXf。可以认为正交系完备。判断一个正交系的完备性不是很容易的。2.特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。0XX，(0,)xl；边界条件（1）Dirichlet.(0)()0XXl;（2）Neumann.(0)()0XXl；（3）Robin.0(0)()XaXl，()()lXlaXl。一般boundaryconditions111122220()()()()0()()()()0XXXaXbXaXbXaXbXaXb，(,)xab；如果满足该方程组的两个解成立0xbxaXYXY，则称symmetricboundaryconditions。结论：方程的不同特征值对应的特征函数是正交的。证事实上，满足该边界条件的函数类上，算子22dAdx是自共轭的：(,)(,)AXYXAY。因此如果1AXX，2AYY，则12(,)(,)(,)(,)AXYXYXAYXY，即得结论。（复函数，略作修改即可）在0xbxaXX时，算子的特征根一定是非负实数。所以，分离变量能得到解的关键就在于对应的特征向量函数序列是否完备。3.级数展开成立的条件对函数作适当的限制：()fx，()fx，()fx在[,]ab上连续，且满足边界对称边界条件，则()fx可作级数展开。如果均方可积，则等式在2L意义下成立。分段连续函数的结论：在不连续点上的结论。正交序列{sin,1}nxn(0,)x，满足对称边界条件。什么样的函数能展开成相应的Fourier级数？例如()1fx，该函数不满足边界条件(0)()0XX（上述正交序列是在该边界条件下得到的）。所以2(,)2[1(1)]||||nnnnfXcXn，121~[1(1)]sinnnnxn。但等式对(0,)x是正确的，特别，对2x成立，所以1021(1)411sin(1)221nknknnk。可得到11114357。其它等式，例如1x：111sin1sin3sin5sin74357。如果考虑正交序列{cos,0}nxn，(0,)x，满足对称边界条件(0)()0XX。同样考虑()1fx，该函数满足边界条件。所以，01c，2(,)0||||nnnfXcX，得到的是一个平凡的等式。原因：该函数是正交序列中的函数。在2L意义下，得到Parseval等式：222100028([1(1)])sin(21)nnndxnxdxnn，得2222100021([1(1)])sin8(21)nnndxnxdxnn。4.傅里叶级数成立都是在给定的区间上，而周期函数则认为是其延拓5.在偏微分方程解中的应用周期的Fourier变换周期为T的函数()Tft的Fourier级数。区间[,]22TT上的一个正交系：{,0,1,}inxen，其中2T。验证：/2/21TinximxmnTeedxT。（复函数内积）级数：()~inxnnfxce，其中/2/21()TinxnTcefxdxT。周期函数逼进非周期函数：周期函数()()Tftft，[/2,/2]tTT，则limTTftft傅里叶级数到傅立叶变换221()limlimTinintTTTTnTftftfedeT和式极限的积分形式作变量代换：2nnnT，12nnT，则01lim2nniitTnftfede近似的直观解释：,0nniiTfedfed；0011limlim221[]2nnnniitiitnniitftfedefedefeded傅立叶变换定义：tiFftedt；傅立叶逆变换：t12iftFed。傅里叶积分定理若ft在,上满足条件1)在任一有限区间上满足狄里克莱条件；2)绝对可积：|()|ftdt；则有，1）在连续点上：1()2itftFed。2）在不连续点上：(0)(0)122itftftFed。性质：线性：1212ftftFFF微分时域微分：设||lim()0tft，则[()]()ftiFF频域微分：()[()]dFitftdF卷积性质：1212[()()]()()ftftFFF，12121[()()]()()2ftftFFF