八年级数学第十一章第2节三角形全等的判定人教新课标版

1初二数学第十一章第2节三角形全等的判定人教新课标版一、学习目标：1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。2.能叙述三角形全等的条件，了解三角形的稳定性。3.能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形全等的性质解决实际问题，体会数学与实际生活之间的联系。二、重点、难点：重点：（1）使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；（2）三角形全等的性质和判定难点：（1）掌握用综合法证明的格式；（2）选用合适的判定定理证明两个三角形全等；（3）初步理解图形的全等变换，从而学会恰当添加辅助线。三、考点分析：三角形是数学中最常见的几何图形之一，三角形全等是证明线段和角相等的重要依据，在数学推理证明中起着重要的作用，因此本章是中考考查的重点内容之一，考查的题型有选择题、填空题、证明题。近几年，在开放性试题中也常会出现。在中考命题时，既会单独命题也会与四边形、相似形、圆等内容综合命题。随着中考中对与圆有关的证明题要求的降低，对本章内容的考查要求将有所加强，利用图形变换找全等形，利用全等找对应边、对应角，求证线段、角相等是中考中常见的考查方式。本节内容在本学期期末考试中的分值占10分左右。1.全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。2.全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。3.全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。4.全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。5.全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。2思路分析：1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。求证：AD∥BC。证明：∵AE＝CF∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE在△AFD和△CEB中，∵ADCBAFCEDFBE　∴△AFD≌△EBC（SSS）∴∠A＝∠C∴AD∥BC解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。知识点二：全等三角形判定2例2：已知：如图，OP是AOC和BOD的平分线，OAOCOBOD，。求证：（1）△OAB≌△OCD；（2）ABCD。3思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。解答过程：证明：（1）∵OP是AOC和BOD的平分线，∴∠AOP＝∠COP，∠BOP＝∠DOP∴∠AOP－∠BOP＝∠COP－∠DOP∴∠AOB＝∠COD在△OAB和△OCD中，∵OAOCAOBCODOBOD∴△OAB≌△OCD（SAS）（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB∥CD这个条件。解答过程：连接BD∵AB∥CD∴∠1＝∠2在△ADB和△CBD中，∵ABCDABDCDBBDDB　　∴△ADB≌△CBD（SAS）∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC综上：AD∥BC，AD＝BC4解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？思路分析：1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。2）解题思路：在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。解答过程：（1）全等；（2）不全等。解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。知识点三：全等三角形判定3例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。求证：AM是△ABC的中线。思路分析：1）题意分析：要证明AM是△ABC的中线，就要证明BM＝CM，要证明线段相等，就要证明与BM、CM有关的三角形全等，即△BEM≌△CFM，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。2）解题思路：结合已知条件和对顶角相等可由ASA来判定△BEM≌△CFM，从而得出BM＝CM，进而得到AM是△ABC的中线。5解答过程：∵BE⊥AE，CF⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，∵BMECMFMEMFBEM=CFM　∴△BME≌△CMF（ASA）∴BM＝CM∴AM是△ABC的中线。解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。知识点四：全等三角形判定4例6：已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。求证：AF＝DC。思路分析：1）题意分析：要证明AF＝DC，就要先证明△ABF≌△DEC，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据BC＝EF，BC∥EF，想到连接BE，从而证明△BFE≌△ECB，进一步得到BF＝EC，再利用AAS来判定两个三角形全等。2）解题思路：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF和△DEC中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF＝EC即可。于是连接BE证△BFE≌△ECB，即可证得BF＝EC。解答过程：连接BE∵BC∥EF∴∠FEB＝∠CBE在△BFE和△ECB中，∵EFBCFEBCBEBE=EB　∴△BFE≌△ECB（SAS）∴BF＝CE在△ABF和△DEC中，6∵ADABFDEC　BF=EC∴△ABF≌△DEC（AAS）∴AF＝DC解题后的思考：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。例7：在△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图a的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；（2）当直线MN绕点C旋转到图b的位置时，求证：BEADDE；（3）当直线MN绕点C旋转到图c的位置时，试问BEADDE、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。图a图b图c思路分析：1）题意分析：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD、BE与CE、DC之间有何关系。这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。2）解题思路：（1）MNAD于D，MNBE于E，又90ACB，在RtADC与RtCEB中，直角对应相等，斜边对应相等。又DAC与BCE同为ACD的余角，自然也是相等的，所以可得到ADC≌CEB。进一步可推出BEADDE。（2）第（3）问中，与（1）的证明思路类似，先证明ADC≌CEB，再来证明BEADDE、、三条线段间的数量关系。解答过程：（1）①90ACBADC，90DACCAD。90DACBCE。BCECAD。BCAC，ADC≌CEB。图a7②ADC≌CEB，BECD,ADCE。BEADCDCEDE。（2）90ACBCEBADC，CBEACD。又∵BCAC，ACD≌CBE。BECD,ADCE。BEADCDCEDE。图b（3）当MN旋转到图c的位置时，BEDEAD、、所满足的等量关系是ADBEDE－（或AD＝BE－DE，DEADBE等）。90ACBCEBADC，CBEACD。又∵BCAC，ACD≌CBE。BECDCEAD，。ADBECEDECD。图c解题后的思考：在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。小结：本题组主要考查如何运用全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转换。知识点五：全等三角形判定5例8：已知：如图AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有ACBF，CDFD。求证：ACBE。8思路分析：1）题意分析：要证BE垂直于AC，需证90BEC，由题意可知9021，若能证明90C1，就可得BE垂直于AC，这就要证2C。这可由已知条件证明ACD≌BFD，便可知2C。再由∠1＋∠2＝90°和∠1＋∠2＋∠BEC＝180°，得到∠BEC＝90°。从而得到ACBE。2）解题思路：运用直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明ACD≌BFD，进一步得到2C。解答过程：证明：BCAD，90ADCBDA。在RtACD和RtBFD中，,,FDCDBFACACDRt≌)(HLBFDRt。2C（全等三角形对应角相等）9021（直角三角形两锐角互余），180BECC1，90BECACBE解题后的思考：（1）证明两个直角三角形全等除了可运用前面的几个