八年级第三讲分解因式及方法之

第三讲分解因式及方法之----分组分解法及十字相乘法一、知识点精讲：1、分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。2、十字相乘法：1）、使用十字相乘法把二次三项qpxx2因式分解，如果常数项q分解成a、b两个因数的积，并且a＋b等于一次项系数p，那么二次三项式))(()(22bxaxabxbaxqpxx2）、使用十字相乘法把二次三项式cbxax2分解因式，如果二次项系数a分解成1a、2a，常数项c分解成1c、2c；并且1221caca等于一次项系数b，那么二次三项式：))(()(22112112212212cxacxaccxcacaxaacbxax借助于画十字交叉线排列如下：3、复习1）、因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是整式乘法的逆运算．2）、因式分解的方法：①提公因式法：)(cbammcmbma；②运用公式法：平方差公式：))((22bababa，完全平方公式：222)(2bababa；③十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax，))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa；④分组分解法：将多项式适当分组，再选择上面提到的方法进行分解。3）、因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。4）、说明：①因式分解要进行到不能再分解为止；②结果中相同因式应写成幂的形式；③根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。二、典型例题讲解及思维拓展：考点一、分组分解的常见方法与技巧：1、四项分组（有两种方法）①三项和一项例1、a2+2ab+b2－c2△△△△=（a2+2ab+b2）－c2完全平方平方=(a+b)2－c2=(a+b+c)(a+b–c)②两项和两项例2、a2－b2－a－b△△△△=（a2－b2）－（a+b）能提公因式或用两项的公式=(a+b)(a–b)－(a+b)=(a+b)(a–b－1)(2)五项分组（两种分法）①三项和二项例3、a2+2ab+b2+ac+bc△△△△△=(a+b)2+c(a+b)二次三项式公因式或两项公式=(a+b)(a+b+c)②两项和两项和一项例4、a2－b2+a－5b－6△△△△△=（a2－b2）+(a－5b)－6平方差一次项常数=(a+b)(a–b)+a–5b–6=(a+b+3)（a–b–2）(a+b)3(a–b)－23(a–b)–2（a+b）=a－5b(3)六项分组（三种分法）①三项和三项例5、a2－b2+2ax－2by+x2－y2△△△△△△=（a2+2ax+x2）－（b2+2by+y2）二次三项式二次三项式=（a+x）2–(b+y)2=（a+x+b+y）（a+x–b–y）②三项、两项和一项例6、x2+xy-2y2-x+7y-6△△△△△△=（x2+xy+2y2）-x+7y-6x+2y二次三项式一次项常数项=(x+2y)(x-y)-x+7y-6x-y=(x+2y-3)(x-y+2)2xy-xy=xy(x+2y)-3(x-y)+22x+4y-3x+3y=-x+7y以上方法即“双”十字相乘法③两项两项两项例7、ax–ay+x2–y2+x–y△△△△△△=(ax－ay)+(x2–y2)+(x–y)两项中有公因式或能用两项的公式=a(x–y)+(x+y)(x－y)+(x－y)=(x－y)(a+x–y+1)变式议练：把下列各式分解因式1、63223xxx2、3232ayyaxaxaxy3、222444zyxyx4、x2+y2–2xy+ax–ay5、x2+3xy+2x+2y2+4y6、a2b2+1–2ab+2xy–x2–y27、2x2+7xy–15y2–4x+19y–68、a2–b2+ax+bx+a+b9、6x2+xy–y2+x+3y–210、x2-2xy+y2-2x+2y+111、2x2-xy-3y2-5x+15y-1212、2x2+7xy+6y2-4x-7y+2考点二、十字相乘法的常见方法与技巧：1、形如：abxbax)(2例2、（1）892xx；（2）892xx；（3）862xx；（4）862xx点评：当常数项是正数时，把它分解成两个同号的因数，并且符号与一次项系数的符号相同；二次三项式的常数项分解因数有多种情况，由这两个因数的和是否等于一次项系数来决定取舍，若相等则取之。变式议练：用十字相乘法分解下列各式的因式。（1）x2+5x+6(2)x2－5x+6(3)x2－5x－6(4)x2+5x－6(5)x2－x-6(6)x2+x－6(7)x2+7x+6(8)x2－7x+62、形如：211221221)(ccxcacaxaa例3、将下列各式分解因式：（1）8652xx；（2）83952xx；（3）262xx；（4）15432xx．点评：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，,直到满足条件为止。（2）一般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。变式议练：将下列各式分解因式：（1）5x2+13xy－6y2(2)3x2－11xy－14y2(3)4p2q2+15pq+9(4)(x+y)2－4(x+y)+3思维拓展训练：例4、将下列各式分解因式：1、2)(3)(2yxyx2、1137522nnnaaa；3、54622yxyx点评：1、在1题中，把一个代数式看作一个整体，事实上运用了换元的思想方法，此处不必把换元的过程写出来。2、指数中含有字母的多项式分解因式时，若有公因式要提，应比较相同字母的指数的大小，提出的公因式中这个字母的指数取最小的。变式议练：分解下列各式的因式⑴10x4－23x2y2－5y4⑵10(x+y)2－23(x+y)－5⑶10x2－23xy－5y2+13x+8y－3例5、把下列各式分解因式：（1）4032222）（）（xxxx；（2）24211）（）（）（xxxx．点评：使用换元法（或换元思想）把原题转化为关于y的二次三项式，再应用十字相乘法进行分解，这种办法是通过换元，达到化繁为简，便于选准方法分解因式，但是必须注意将所设代回后还要看是否还能继续分解，如果能，必须分解彻底。例6、（1）已知x+y=31,x+4y+2=0.求3x2+15xy+12y2的值。（2）若a2+5ab－6b2=0(a≠b),求baba3322的值。（3）已知4m2+12mn+9n2－6m－9n=0,且2m+3n≠3.求3（m－3n）3+27m2(3n－m)的值。（4）已知x2+3x－2=0,求x3+5x2+4x－10的值。例7、已知一个三角形的三边a、b、c满足a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b)=0,试判断这个三角形的形状。并证明你的结论。三、课堂挑战：一．选择题：1．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的为（）A．23)2)(1(2xxxxB．acabcba22)(2C．))((22nmnmnmD．xxxxx2)2)(2(2422．下列变形中正确的是（）①)(abba；②)(baba；③22)()(baab；④22)()(abba；⑤22)()(abba；⑥33)()(abba；⑦))((22yxyxyx；⑧))((22yxyxyxA．1个B．2个C．3个D．4个3．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A．2241babaB．abbaba))((C．412xxD．122yy4．4)3(22xmx是一个完全平方式，则m的值是（）A．—1B．1C．—1或—5D．—55．对于任意正整数m，多项式9)54(2m一定能被（）整除A．8B．m—1C．mD．2m—16．设a、b、c是三角形的三边，则多项式bccba2222的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定7．在一边长为12.75cm的正方形中，挖去一个边长7.25cm的正方形，则剩下的面积是()A．11cm2B．100cm2C．20cm2D．200cm28．分解因式xyxyyx2224的结果是（）A．)2(42xyxyxB．)124(yxxyC．)124(yxxyD．)24(yxxy9．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（）A．22xyxB．21yC．222yD．33yx10．下列各式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（）A．142xB．1442xxC．22yxyxD．442xx11．把多项式332223224168bcacbacba分解因式，公因式是（）A．322cabB．abc4C．bca28D．33324cba12．把33)(3)(6xyyyx分解因式，结果是（）A．)36()(3yyxB．)2()(33yyxC．)2()(33yyxD．)2()(33yyx13．下列多项式不含因式3x的是（）A．xxx9623B．xx93C．)2(18)2(22xxxD．)3(9)3(2xxx14．16824xx分解因式的结果是（）A．22)4(xB．22)4(xC．)2()2(2xxD．22)2()2(xx15．三角形的三边a，b，c满足0)(2322bcbcba，则这个三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二．填空题：1．（成都市中考题）把多项式22babcac分解因式的结果是（）A．))((cbabaB．))((bacbaC．))((cbabaD．))((cbaba2．（北京市中考题）分解因式nmnm2222＝3．（河北省中考题）分解因式ayaxyx22＝．4．当m＝______时，2249ymxyx是一个完全平方式．5．若2223nxxm是一个完全平方式，则mn=__________．三．1、把下列各式分解因式：（1）110162522xyx；（2）36223aaa；（3）yyxx2422；（4）2010223mmm．2、把下列各式分解因式：（1）342xx；（2）1272yy；（3）1872mm；（4）3652tt；（5）71522xx；（6）4832aa；（7）6752xx；（8）101162yy．3、把下列各式分解因式：（1）2222244abbababa（2）1222234xxxx（3）222yxyxyzxz4、把下列各式分解因式：（1）361324mm；（2）24)(10)(222xxxx；（3）3)22)(2(22xxxx；（4）241414)(222xxxx．四、解答题：1、已知x，y为不相等的正数，比较)(22yxx与)(22yxy的大小．2．已知：2222)()(3cbacba，试说明：a＝b＝c．3．若2222)(400))(42()(100baabkba是完全平方式，求k的值．4．说明：当n为正整数时，nn3的值必为6的倍数．5．已知0)())((42cacbba，说明：cab2．