武大数学物理方法期末考试试题-2008

2008年数学物理方法期末试卷一、求解下列各题（10分*4=40分）1．长为l的均匀杆，其侧表面绝热，沿杆长方向有温差，杆的一段温度为零，另一端有热量流入，其热流密度为t2sin。设开始时杆内温度沿杆长方向呈2x分布，写出该杆的热传导问题的定解问题。2．利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题2||)0,(0400tttxxttuxutxuu并画出t=2时的波形。3．定解问题)0(0,sin)0(0,)0,0(,000axuxBuyuayubyaxuubyyaxxyyxx，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题4．计算积分111)()(dxxPxxPIll二、（本题15分）用分离变量法求解定解问题xxuuutxuautxxxxxt3sin4sin20,0)0,0(0002三、（本题15分）设有一单位球壳，其球壳的电位分布12cos|1ru，求球内、外的电位分布四、（本题15分）计算和证明下列各题1．)(0axJdxd2．CxxxJxxxJxdxxJcos)(sin)(sin)(100五、（本题15分）圆柱形空腔内电磁振荡满足如下定解问题000),(0,00),(0),(0lzzzzauuzulzazuzu其中2)(c，为光速为电磁震荡，c。（1）若令)()(),(zZRzu，写出分离变量后关于)()(zZR和满足的方程；（2）关于)()(zZR和的本征值问题，写出本征值和本征函数；（3）证明该电磁振荡的固有频率为,3,2,1;,2,1,0,)()(220mnlnaxcmmn其中0mx为零阶Bessel函数的零点。参考公式（1）柱坐标中Laplace算符的表达式（2）Legendre多项式（3）Legendre多项式的递推公式（4）Legendre多项式的正交关系（5）整数阶Bessel函数（6）Bessel函数的递推关系