光学薄膜理论基础2.

复习光学导纳修正导纳菲涅尔公式单一界面的反射率和透射率000000//rHNYNNykEcoscosNTMNTEps波：波：01010S012SSSSSSSSrt0101000112coscosPPPPPPPPPrt2201012010122111012200001cos4cosrriittsisiEIRrIENEITtINE第二章光学薄膜理论基础等效界面思想单层薄膜的等效界面等效介质的等效光学导纳单层介质膜的光学特性多层介质膜的光学特性吸收薄膜的光学特性主要内容等效界面思想等效介质：薄膜系统和基底组合而成。将入射介质和等效介质之间的界面称为等效界面，即等效界面两侧分别是入射介质和等效介质。入射介质的折射率仍旧是N0，等效介质具有等效光学导纳Y。因此，整个薄膜系统的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的反射率计算公式为：等效界面思想：任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面代替，而且等效界面的导纳为，如图1所示。200YRY图1多层膜的等效界面00HYE单层薄膜的等效界面单层薄膜的两个界面在数学上可以用一个等效的界面来表示，如图2。膜层和基底组合的导纳是Y。式中（已将前两式代入）。义为等效介质的光学导纳定即：强度的切向分量连续，界面两侧的电场、磁场根据边界条件，在等效00/2/2/20/20,EHEHYHHEE图2单层薄膜的等效界面/2/2,EH根据边界条件可以知道：Y=H0/E0。于是如同单一界面的情形，单层膜的反射率可表示为：200YRY只要确定了组合导纳Y，就可以方便地计算单层膜的反射和透射特性。因此问题就归结为求取入射界面上的H0和E0的比值。下面推导组合导纳的表达式。如图3在薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我们归并所有同方向的波，正方向取+号，负方向取–号。图3单层薄膜的电场同样的意义。等具有和，和，符号上的和是指在界面和1211-12-111121121HHEEEEE等效介质的等效光学导纳若要求出r，必须要先知道Y，下面即为等效光学导纳Y的推导及计算。其基本过程为：首先，根据界面1上的边界条件，建立E0、H0与E11+、E11-的联系；然后，根据平面电磁波传播规律，找出E11+、E11-与E12+、E12-的关系，从而建立E0、H0与E12+、E12-的联系；之后，再根据界面2上的边界条件，找出E12+、E12-与E2、H2的关系，从而建立E0、H0与E2、H2的联系（具体的数值关系与膜系和基底的参数N1、N2、d1等有关)；最后，基于等效界面思想，结合等效介质的等效光学导纳Y和基底光学导纳的定义式，最终建立Y与膜系和基底的参数的关系。等效介质的等效光学导纳推导011011000111111000111111000111101110111011101111,()()()(EHEEEEEEEEEEHHHHHHkEkEEHHkEkEkEk（）用和的切向分量在界面两侧连续的边界条件写出在界面上：于是，可得：01111111121112110001111012)212exp(),2exp()cos,()iiEiindEEeEEekEkEEkEe（）在界面，的内侧，不同纵坐标、相同横坐标的两点，只要改变波的位相因子，就可确定它们在同一瞬时的状况。正向行进的波的位相因子应乘以而负向行进的波的位相因子应乘以，其中。即：，所以（）0120101101101210121)())iiiikEeHkEkEkEekEe（（）（等效介质的等效光学导纳2201112012021201202120120201201120112011201212122012012012120212122121212121)(2121)(21)()()()()(223HEkEkEkHEkEkHEkEkHHEkEkEkEkHHHEkEkEkEEkEEEHE写成矩阵形式：于是，可得：上：两侧连续可写出在界面的切向分量在界面和）同理，根据（12012011000EkEkeeeeHEkiiii写成矩阵形式：等效介质的等效光学导纳联系起来。的切向分量和界面的的切向分量与透过最后和上式就把入射界面的可得）中的矩阵带入（）中的矩阵将（的数值关系与），建立）和（）综合（（220022011111122011110001201201100022011120120220000cossinsincos212121212212121213324HEHEHEkiiHEkeeeeHEkEkEkeeeeHEkHEkEkEkHEkHEkiiiiiiii等效介质的等效光学导纳)(1cossinsincos1)()(cossinsincos)(cossinsincos4)(,,),()(2520211111100202201111110000220111111000020000'0''0'20222222EkiiYEkEkEkiiEkYEkHEkiiHEkHHEkYHEEHHEkYHEkHY，即可得）的矩阵带入（和将；将其带入上式可得：等效界面），有根据边界条件（针对对于等效介质有：又根据等效界面思想，；（基底）有：对于介质的的关系膜系和基底参数与建立）运用等效界面思想，（等效介质的等效光学导纳111000221111112111000211111cossin11()()sincoscossin1,sincos1()()cossinsinikEkEYiiBCiBCkEkEYBYCii令则上式可改写为：解得矩阵1111111111cos2cos()coscosNdTMNPTESN称为该膜层的，由薄层参数唯一确定，它包含了薄膜的全部有用参数，其中；对于（波）分量：，对于波分量：。以后我们将会看到，在分析薄膜特性是，这一矩阵是非常特征矩阵有用的。等效介质的等效光学导纳111211111111cossin1sincos2coscosiBCiYNdNd矩阵定义为基底和膜层组合的特征矩阵。当膜层参数已知后，其矩阵元就确定了，便可以求出等效光学导纳，进而就可以求得单层介质膜的反射率。我们把叫做薄膜的，把叫做薄膜的有效位相厚度有效光学厚度。单层介质膜的光学特性（3）讨论BCY故振幅反射系数为：能量反射率为：由矩阵的表达式可以知道，当薄膜的有效光学厚度为1/4波长的整数倍时，即或其位相厚度为的整数倍时，即CB21111111cossinsincosiiCB单层介质膜的光学特性（4）2在参考波长处会出现一系列的极值。(a)对于厚度为的奇数倍，即m=1,3,5….的情形，有：(b)而对于厚度为的偶数倍，即m=2,4,6….的情形，有：这通常称为四分之一波长法则。此时，计算可得计算可得在参考波长处，它对于膜系的反射或透射特性没有任何影响，因此被称为“虚设层”。当然在其他波长上，薄膜的特征矩阵不再是单位矩阵，对膜系的特性是具有影响的。40400单层介质膜的光学特性例2.01当厚度为波长的奇数倍时，反射率是极大还是极小，视薄膜的折射率是大于还是小于基片的折射率而定。a）b)4040图4单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系，其中n0=1,n2=1.5,膜的折射率为n1，入射角。00当膜的光学厚度取的偶数倍时，反射率也是极值，且视它们的折射率而定，只是情况恰巧相反，如图所4示。单层介质膜的光学特性注意：（1）因为R是的函数，所以，这里所说的“极值”、“虚设层”都是对特定波长（即满足的波长）而言。（2）单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系：a)b)（3）因为，所以单层介质膜的反射率随膜层厚度的周期性变化也有可能是波长变化所致。4cos111mdN111cos2dN单层介质膜的光学特性例2.1由于波长厚度的薄膜在多层膜设计中用的非常广泛，因而有一些简单的速写符号。经常用H表示高折射率的波长的膜层；而L表示低折射率的波长的膜层；且通常用M表示中间折射率的波长的膜层。例如用表示一个高低折射率交替的三层膜结构。40基片”“空气HLH404040基片”膜系“空气图HLH5单层介质膜的光学特性例题2.1根据上述波长法则，等效界面的导纳为，同样对于4144HsLnnn单层介质膜的光学特性基片”膜系“空气图LHLH6等效界面的导纳为多层介质膜的光学特性上面对单层薄膜的讨论可以推广到多层膜的情况。任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面代替，而且等效界面的导纳为，如图7所示。00EHY图7多层薄膜的等效界面如上节讨论的，在界面1和界面2应用边界条件可以得到：在界面2和界面3应用边界条件可以得：重复这一过程，（如图8）再到在界面K和K+1应用边界条件得到：图8求解多层薄膜的矩阵法多层介质膜的光学特性因为个界面的切向分量连续，故有：所以经过连续的线性变换，最后可以得到矩阵方程式多层介质膜的光学特性这样，膜系的特征矩阵为：对p-偏振波和s-偏振波，膜层的位相厚度都是：矩阵称为第j层膜的特征矩阵。多层介质膜的光学特性（4）式（4）在薄膜光学中具有特别重要的意义，因为它几乎构成了全部计算的基础。多层介质膜的光学特性该k层膜系的光谱特征为：（5）式（5）虽然是针对介质膜系（N=n）推导出来的，但是可以证明，对于含有吸收膜层（N=n-ik）的多层膜系，这些公式仍适用。多层介质膜的光学特性前面已经主要分析了介质薄膜的特性计算方法。下面简要分析包含吸收薄膜的膜系的反射和透射特性。原则上只要将折射率代之以复折射率n-ik，上述方法是同样适用的。势透射率首先引入势透射率的概念，所谓势透射率是从薄膜系统出射的能量与进入薄膜系统的能量之比值，即如图1所示。RT1图1薄膜系统的势透射率RT1)1:(R进入膜系的全部为根据坡印廷矢量的表达式，那么可得。又因为组合的光学导纳和电场为多膜层和基底、场，为基底的光学导纳和电、其中)(0111EEEYENkkkg2)Re(21))(Re(21ENENEI