光学衍射--光栅衍射.

§13-5夫琅禾费多缝衍射----平面光栅衍射目录一、光栅衍射现象1.光栅的概念2.光栅衍射的图样3.光栅衍射的光强分布4.光栅衍射光强的讨论二、光栅方程三、光栅光谱四、对光栅衍射图样的讨论五、练习31.光栅的概念光栅常数d=a+b透射光栅O大量等宽等间隔的平行狭缝,称为光栅.一、光栅衍射现象缝宽—a间隔—bdabPf它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度1/N，实验室内常用（600~1200）/mm的光栅。PoLPf衍射角广义地,任何具有空间周期性的结构,都可作为光栅.分类:透射光栅、反射光栅、阶跃光栅、全息光栅…例如在一块不透明的板上刻划出一系列等宽度又等间距的平行狭缝。就是一种简单的一维透射式光栅。a透光b不透光广义地,任何具有空间周期性的结构,都可作为光栅.分类:透射光栅、反射光栅、阶跃光栅、全息光栅…作用:色散(分光),光谱分析研究.2.光栅衍射图样的形成1）单缝衍射当平行光来照射到一条细长狭缝上出现衍射图样时，其光强分布满足下式：其中光屏上所有最大值和最小值的位置分布仅取决于相应的衍射角，并不随缝的位置的改变而改变。202sinII衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。OaOa换句话说，单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。92）多缝干涉如果在平面上开了许多相互平行的同样宽度的细长狭缝，则它们会给出与单缝同样的相互重叠的衍射图样，各最大值都在原来位置得到相应的加强。同时，当相邻狭缝对应点在衍射角方向上的光程差满足：dsin=kk=0,±1,±2,±3···则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，条纹就越明亮。abd=a+bxf0屏衍射角102）多缝干涉多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹相邻两缝间的光程差：sinΔd光栅的衍射条纹是衍射和干涉的综合效果sin(0,1,2,)dkkL明纹位置如果照射的光是复色光，则每一波长都将产生和它对应的细窄亮条纹。通常称为光谱线。113.光栅衍射的光强分布1f2fP屏1L2L1FS2F光强计算：波面分割，振幅与位相计算同单缝。面元dx在p点的振动：2cossinAdEtadxaP点合振动，要完成N各缝的积分：P点合振幅：0sinsinsinsinsinsinsinPadNAAad令sinasindv123202211NaNbaababababNaNbEdEdEdEdE称为衍射因子称为干涉因子光强：2222022sinsinsinsinsinsinsinPPadNIAAda22022sinsinsinNvIv关于光强分析：I=I1I22102sinII——单缝衍射222sinsinNvIv——多光束干涉可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。4.多缝衍射光强的讨论4.1干涉因子22sinsinNvv(1)干涉主极大:,vm(0,1,2)mL即sindm222sinlim.sinvmNvNv(光栅方程)在屏幕的中心,0220sinlim1,.02INI光强取得极大值:（2）干涉极小对于干涉因子：光强为2202sin.INI其中：I0为一个单缝在上的光强。022sin0,sinNvv.0I当，而sin0Nv时,sin0v'().mvmN(0,1,2)mL('1,2,3,1.)mNL'sin()mdmN或因此极小的位置满足两个极小之间有一个次极大,在实际工作中,N是个很大的数,干涉因子分子比分母变化得快得多,因此,当N很大时,可近似认为极大位于sinNv取极大值的那些点.即{[(2''1)/2]},vmmN(0,1,2;mL''1,2,32)mNL＊(3)干涉次极大或2''1sin()2mdmN因此,在两个干涉主极大之间有(N-2)个干涉次极大.例如0和1级干涉主极大之间,次极大分别位于.232,25,23sindNNdNdN18（4）次最大的角位置和数目次最大的角位置可由0sinsin2Ndd求得可以证明，各级次最大的光强远比主最大弱得多。其值不超过零级主最大的1/23，所以次最大和暗纹实际上混成一片，形成光强很弱的黑暗背景。对于总缝数N很大的光栅，次级大完全观察不到。因为在两相邻主最大之间有N－1个暗纹，而相邻两零光强暗纹之间应有一个次最大。因此，两相邻主最大之间必有N－2个次最大。4.2考虑衍射因子22sin(1,2,)nLsinan若在某衍射方向是n级衍射极小,又是m级干涉主极大,则有sin.dm22sin0,0,I由于衍射因子由上面两方程,得.dman第m级干涉主极大被n级衍射极小调制掉,我们称这种现象叫作缺级.例如3,da则3,6...m等级次被调制掉,条纹不出现.sin022sinsinNvv22sin22022sinsinsinNvIvsinsin2aaa2a0a2bbd2d4dd5dd2d4d54.3光栅光强分布曲线4,/3Nda2a22k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6以此类推级主极大缺时级主极大缺时则若......6231,3，，k，，kadk=-6缺级：k=±3,±6,±9,...缺级光栅衍射第三级极大值位置单缝衍射第一级极小值位置4.4主极大缺级23综上：光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波相干叠加而形成。因此，它是单缝衍射和多缝干涉的总效果。也即，光栅衍射图样是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。4.5主极大的半角宽度m级主极大m级主极大旁第一个极小（m’=1)1sin()().mNdsin.mdsin()sinNd上两式相减：很小：sinsin()sincosdd.cosNd4.6双缝衍射2N时，缝间干涉因子222sin4cos2sin222202sinsin()4cossin2()PaIAa2204cos2PIAa时杨氏双缝干涉结果实际上，的条件很难满足，所以双缝干涉也必然受到单缝衍射的影响。如图所示a杨氏双缝干涉结果4.7干涉和衍射的区别与联系☆参与叠加的光束本身的传播行为可近似认为直线传播时，属纯干涉问题。如不能用直线传播描述时，即本身存在衍射，则首先考虑衍射☆衍射可以看做是无穷多次波的叠加，而干涉只是有限多光束的叠加。衍射是精细的，干涉是粗略的。☆干涉和衍射都是波的叠加。27二.光栅方程sindj0,1,2,3,jL—光栅方程1.平行光垂直入射时上式表示了衍射光栅所产生谱线的位置，j—谱线的级数。2.平行光倾斜入射时0sinsinddj0,1,2,3,jL与0在法线同侧时取“＋”；与0在法线异侧时取“－”。28如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，则除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。由光栅的主极大满足光栅方程kdsin波长相差越大，级次越高,则分得越开。Isin0级1级2级3级’三.光栅光谱29如果是白光，则光栅光谱中除零级仍为一条白色亮线外，其它各色谱线都排列成连续的谱带，第二、三级后可能发生重叠。如图把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为光栅光谱。1k1k2k3k2k3k紫红紫紫紫紫紫红红红红红30四.对光栅衍射图样的几点讨论①条纹特点:细锐、明亮.——光谱线.(I正比于N2;(N-1)个极小,(N-2)个次极大.)②光栅光谱——按波长排列的谱线.复色光入射,不同波长的主极大的角位置不同;每一k级都有一组.(无零级.)③光谱的重叠:当两波长的光同时满足：22sin)(kba11sin)(kba在该衍射方向上两波长对应的和级重叠，称为重级现象。1k2k31氢原子、汞原子、氦原子的发射光谱32xf0θ33xf0θ34xf0θ35xf0θ实验中常采用“缺级”的方法来克服重级现象。如420nm的第三级谱线与630nm的第二级谱线重叠，可用的光栅使其第二级谱线缺级，顺利地对420nm的光谱进行测量。也可用滤色片将630nm的光滤掉（即吸收），来避免重级。2/ad小结：光栅衍射（多缝衍射）光强公式22022sinsinIsinsinsin,NvIvadv其中：(1)干涉主极大:kdsin(光栅方程)（2）干涉极小'sin()mdmN可见，在两个主极大之间有N－1个极小。(0,1,2;mL''1,2,32)mNL＊(3)干涉次极大2''1sin()2mdmN因此,在两个干涉主极大之间有(N-2)个干涉次极大.(0,1,2)mL('1,2,3,1.)mNL（4）缺级.abmbn例如3,db则3,6mL等级次被调制掉,条纹不出现.总之,光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果.(1,2,)nLsinbnsin.m（a+b)（5）主极大的半角宽度.cosNdP41819题4344例题1.某单色光垂直入射到一每厘米刻有6000条缝的光栅上,如果第一级谱线的偏角为20°,试问入射光的波长如何？它的笫二级谱线将在何处？解:由光栅方程1sind）（1k得nm570再由2sin2d）（2k684.0sin22sin12ba得9432sin200.34o45例题2使波长为480nm的单色光垂直入射到每毫米刻有250条狭缝的光栅上，光栅常量为一条缝宽的3倍.求:(1)第一级谱线的角位置;(2)总共可以观察到几条光谱线?解:(1)根据光栅方程,取k=1,1sinba12.0)12.0arcsin()/arcsin(1d(2)可见k的最大可能值对应sinθ=1.3.82/sinmaxdkK只能取整数，故取k=8，总共可有2k+1=17条明纹.（加1是指中央明纹）再考虑缺级,d=3a,故±3,±6将缺级.实际将观察到17-4=13条光谱线.46解：设紫光波长为λ=400nm,红光波长λ′=760nm.按光栅方程dsinθ=kλ,对第k级光谱，角位置从θk到θ′k，要产生完整的光谱，即要求λ（短）的第(k+1)级条纹在λ′（长）的第k级条纹之后（外侧），亦即1kk由1sinsin(1)kkdkdk例题3利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光垂直照射下，可以产生多少条完整的光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的光开始与其它谱线重合？47得(1)kkdd或)1(kk代入数据)1(400760kk只有k=1才满足上式，即只能产生一级完整光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠现象出现.设第二级光谱中波长为λ′′（长）的光和第三级光谱开始重叠，即与第三级中λ（短）的紫光开始重叠，则有kk)1(2k得nm600400232348例题4已知平面透射光栅夹缝的宽度a=1.582*10-3nm,若以波长的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1.5