优选法基础知识

0优选法基础1§1概述优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用优选法也叫最优化方法2§1概述优选法基本步骤：1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是用来判断优选程度的依据。2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数3）优化计算优化(选）试验方法一般分为两类：分析法：同步试验法黑箱法：循序试验法^12^(,......)iNiyfxxxyx----试验指标----第个试验条件3§2-1单因素优选法如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题一般步骤：（1）首先应估计包含最优点的试验范围如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]（2）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达式不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的方法方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况4§2-2单因素优选法一、平分法如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选用此法ab连续单调f(x)间断单调abf(x)5§2-3单因素优选法平分法的作法为：总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为：根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划去，重复上面的试验，直到找到一个满意的试验点。ab＋中点＝26§2-4单因素优选法例5－1乳化油加碱量的优选（用循序试验法）高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围1%2.7%4.4%7§2-5单因素优选法第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2乳化良好第三次，为了进一步减少乳化时间，不走考虑少于1.85%的加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满意，试验停止。1%1.85%2.7%1.85%2.28%2.7%8§2-6单因素优选法二、黄金分割法（0.618法）对于一般的单峰函数，我们可以采用此法ab单峰函数f(x)9§2-7单因素优选法0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，即：12120.618()(51)(52)0.382()(53)abxabaxabxxaba''也可称为试验范围的小头，为试验范围的大头，上述公式可以表示为：第一点＝小＋0.618（大－小）(5-1)第二点＝大＋小－第一点(5-2)10§2-8单因素优选法ax2x1b如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，如果f(x1)比f(x2)好，x1是好点，于是把试验范围（a，x2）划去剩下（x2，b），如果f(x1)比f(x2)差，x2是好点，于是把试验范围（x1，b）划去剩下（a，x1），下一步是在余下的范围内寻找好点11§2-9单因素优选法3321xxxxbx13对于第一种情形，x的对称点，在安排第三次试验，用对称公式计算有：21xxxb3312xaxx32对于后一种情形，第三个试验点x应是好点x的对称点，也就是：ax3x2x112§2-10单因素优选法12212121f(x)f(x)),)(,)a,b(,)bxxxxxx12'如果与一样，则应该具体分析，看最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉(a,x和(x，仅留中点的，把看成新看成新，然后在范围内重新安排试验这个过程重复进行下去，知道找出满意的点，得出比较好的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不大时也可终止试验另：公式(5-2),(5-2)还可用折纸的办法得到13§2-11单因素优选法例5－3炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加入范围是1000－2000克，求最佳加入量1000110019002000小大14§2-12单因素优选法第一步先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克第二步第（2）个试验点由公式（5－2）’计算x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克第三步比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]小1618中点1764大1382(1)(3)2000x3=大＋小－第一点=1383+2000-1618=1764克15§2-13单因素优选法第四步比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可16§2-14单因素优选法三、分数法分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要求预先知道试验总数ab单峰函数f(x)17§3-1多因素方法——降维法多因素问题：首先对各个因素进行分析，找出主要因素，略去次要因素，划“多”为“少”，以利于解决问题^12^(,......)iNiyfxxxyx----响应值----第个试验条件18§3-2多因素方法——降维法一、等高线法又叫坐标轮换法（1）固定其中一个因素在适当的位置，或者放在0.618处，对另外一个因素使用单因素优选法，找出好点（2）固定该因素于好点，反过来对前一个因素使用单因素优选法，选出更好点，如此反复19§3-3多因素方法——降维法例如：有两个因素需要考虑，一个是用量，其范围（1000，2000），另一个是温度，其范围（1000℃，2000℃）。因素1因素22000℃1618℃1000℃1000g2000g（1）固定温度于0.618处（2）优选出用量的最佳点A（3）固定用量于点A（4）优选温度最佳点B（5）固定温度于点B（6）再次优选用量最佳点C…………ABCD20111222axbaxb等高线的一般作法：假设试验范围为一长方形：因素1因素21a2a1b2b(1)1x(2)1x(1)2x(1)112(1)(1)12(,)xxxxx1固定在处，而用单因素方法对因素进行优选，得最优点记为A(1)221(2)(1)12(,)xxxxx2然后固定于，用单因素法对因素进行优选，又得到最优点记为A1A2A211a2a2b(1)1x(1)1x(1)11(1)11122xxxxbaxb将直线由将原长方形剪成两块，剩下的试验范围为：1b(1)1x(2)1x2A22(2)112(1)(2)22(1)111(1)222(,)xxxxxxxbxxb333新的试验范围内，将固定于，而对进行优选，又得到一点A。于是，丢掉不含A的一块，而在包含A的一块中继续优选，剩下的试验范围为：1b(1)1x(2)1x(1)2x(2)2x3A(2)221xxx再将固定在处，而对进行优选，依此方法继续进行23例5－8阿托品是一种抗胆碱药。为了提高产量，降低成本，利用优选法选择合适的酯化工艺条件：根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验范围：温度：55℃－75℃时间：30－210分钟24（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其收率为41.6％（2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温度，得最优温度为67℃，其收率为51.5％（3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间，得最优时间为80分钟，其收率为56.9％（4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选，结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最优条件为：温度：67℃；时间：80分钟采用此工艺生产，平均收率提高了15％251a2a1b2b(1)1x(1)2x222ab112ab1A2x1x二、纵横对折法11122211122222axbaxbabxabx两因素时，假设试验范围为长方形在此长方形的纵横两根中线上用单因素方法求出最优点1B26222(1)22211111(1)1112112A222abxabxxabxabxxB1先将因素固定在处，而用单因素方法求出相应于＝的最优点数值，这样一个两因素的组合记为。同样，固定在，而用单因素方法求出相应于＝的最优点数值，这样一个两因素的组合记为B。比较A和的结果，去掉不适合的部分，缩小试验范围，继续进行试验，直至试验结果满意为止27例6－9某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油最多.根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％（体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比），精度为±5％。。作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素的0．618法选取最优浓度为80％（即图6－10）的点3。而后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表6－3），试验至此结束。2829三、平行线法在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假设试验范围为一单位正方形,即0≤x1≤1，0≤x2≤13031上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不失普遍性，可以假设它是单位立方体：0≤x1≤1，0≤x2≤1，0≤x3≤1又设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和0.382处，就得到两个平行平面:0≤x1≤1，0≤x2≤1X3＝0.618与0≤x1≤1，0≤x2≤1X3=0.382这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用（任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和A2（见图6－15）。然后比较A1和A2上的试验结果。3233平行线加速法: