指数函数经典例题(标准答案)

1/10指数函数1．指数函数的定义：函数)10(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R奎屯王新敞新疆2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x21，y=x10，y=x101的图象.我们观察y=x2，y=x21，y=x10，y=x101图象特征，就可以得到)10(aaayx且的图象和性质。a10a1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1已知函数2()fxxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xfb与2/10()xfc的大小关系是_____．分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)fxfx，∴函数()fx的对称轴是1x．故2b，又(0)3f，∴3c．∴函数()fx在1，∞上递减，在1，∞上递增．若0x≥，则321xx≥≥，∴(3)(2)xxff≥；若0x，则321xx，∴(3)(2)xxff．综上可得(3)(2)xxff≥，即()()xxfcfb≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441aaa≥，∴函数2(25)xyaa在()，∞∞上是增函数，∴31xx，解得14x．∴x的取值范围是14，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3求函数216xy的定义域和值域．解：由题意可得2160x≥，即261x≤，∴20x≤，故2x≤．∴函数()fx的定义域是2，∞．令26xt，则1yt，又∵2x≤，∴20x≤．∴2061x≤，即01t≤．∴011t≤，即01y≤．3/10∴函数的值域是01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4函数221(01)xxyaaaa且在区间[11]，上有最大值14，则a的值是_______．分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围．解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t．∴当1a时，∵11x，，∴1xaaa≤≤，即1taa≤≤．∴当ta时，2max(1)214ya．解得3a或5a（舍去）；当01a时，∵11x，，∴1xaaa≤≤，即1ata≤≤，∴1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去），∴a的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5解方程223380xx．解：原方程可化为29(3)80390xx，令3(0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去），∴39x，∴2x，经检验原方程的解是2x．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度4/10D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535xxy，∴把函数3xy的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．5/102，曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是().(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y＝231x;(2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝231x的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵31x≠0，∴231x≠1，∴y＝231x的值域为｛y｜y0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)21.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y1｝.4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以931t，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。6/105、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．6．（9分）已知函数)1(122aaayxx在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.．解：)1(122aaayxx，换元为)1(122atatty，对称轴为1t.当1a，at，即x=1时取最大值，略解得a=3(a=－5舍去)7．已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围．．解：（1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，．8（10分）（1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？7/10解：（1）常数m=1（2）当k0时，直线y=k与函数|13|xy的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时,直线y=k与函数|13|xy的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0k1时,直线y=k与函数|13|xy的图象有两个不同交点，所以方程有两解。9．若函数是奇函数，求的值．．解：为奇函数，，即，则，10.已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x+2的最大值和最小值解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0∴1≤3x≤9故0≤x≤2而y=(41)x-1-4·(21)x+2=4·（21）2x-4·（21）x+2令t=（21）x（141t）则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-21）2+1当t=21即x=1时，ymin=1当t=1即x=0时，ymax=211．已知，求函数的值域．解：由得，即，解之得，于是，即，故所求函数的值域为12.(9分)求函数2222xxy的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0，8〕。（3）在（-∞，1〕上是增函数在〔1，+∞）上是减函数。13求函数y＝23231xx的单调区间.8/10分析这是复合函数求单调区间的问题可设y＝u31,u＝x2-3x+2，其中y＝u31为减函数∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y＝u31,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，23)时，u为减函数，∴y关于x为增函数；当x∈［23，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.14，已知函数f(x)＝11xxaa(a0且a≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.设y＝11xxaa,解得ax＝-11yy①∵ax0当且仅当-11yy0时，方程①有解.解-11yy0得-1y1.∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1}.(2)∵f(-x)＝11xxaa＝xxaa11＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.(3)f(x)＝12)1(xxaa＝1-12xa.1°当a1时，∵ax+1为增函数，且ax+10.∴12xa为减函数，从而f(x)＝1-12xa＝11xxaa为增函数.2°当0a1时，类似地可得f(x)＝11xxaa为减函数.15、已知函数f（x）=a－122x（a∈R），（1）求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．（2）若f（x）为奇函数时，求a的值。9/10（1）证明：设x1＜x2f（x2）－f（x1）=)21)(21()22(22112xxxx＞0故对任何a∈R，f（x）为增函数．（2）xR，又f（x）为奇函数(0)0f得到10a。即1a16、定义在R上的奇函数)(xf有最小正周期为2，且)1,0(x时，142)(xxxf（1）求)(xf在[－1，1]上的解析式；（2）判断)(xf在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程)(xf=在]1,1[x上有实数解.解（1）∵x∈R上的奇函数∴0)0(f又∵2为最小正周期∴0)1()1()12()1(ffff设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），)(142142)(xfxfxxxx∴142)(xxxf（2）设0x1x21)14)(14()22()22()()(21122212221xxxxxxxxxxfxf=0)14)(14()21)(22(212121xxxxxx∴在（0，1）上为减函数。（3）∵)(xf在（0，1）上为减函数。∴)0()()1(fxff即)21,52()(xf同理)(xf在（－1，0）时，)52,21()(xf又0)1()0()1(fff∴当)21,52()52,21(或0时)(xf在[－1，1]内有实数解。(0,1)x142{-1,0,1}x0(-1,0)x142)(xxxxxf10/10函数y＝a｜x｜(a1)的图像是()分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)：去绝对