人教A版数学选修2-3配套课件24正态分布

2.4正态分布课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.会分析正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.重点难点重点:正态曲线的特点及其所表示的意义;利用正态分布解决实际问题.难点:求随机变量在某一区间内的概率.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.正态曲线(1)函数φμ,σ(x)=12πσe-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ0)为参数.我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)随机变量X落在区间(a,b]的概率为P(aX≤b)≈𝑏𝑎φμ,σ(x)dx,即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是X落在区间(a,b]的概率的近似值.xxx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流1(1)正态曲线φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义是什么?提示:参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数,即若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ.同理,参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引(2)设随机变量X的正态分布密度函数φμ,σ(x)=12πe-(𝑥+3)24,x∈(-∞,+∞),则参数μ,σ的值分别是().A.μ=3,σ=2B.μ=-3,σ=2C.μ=3,σ=2D.μ=-3,σ=2提示:写成标准式φμ,σ(x)=12πe-[𝑥-(-3)]22(2)2,∴μ=-3,σ=2.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=𝑏𝑎φμ,σ(x)dx,则称X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).3.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π;(4)曲线与x轴之间的面积为1;课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流2设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤C)=P(XC),则C=().A.0B.σC.-μD.μ提示:正态分布在x=μ对称的区间上概率相等,则C=μ.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a0,概率P(μ-aX≤μ+a)=𝜇+𝑎𝜇-𝑎φμ,σ(x)dx.特别地有P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974.5.3σ原则正态变量在(-∞,+∞)内的取值的概率为1,正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,简称为3σ原则.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率?提示:首先找出服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则求某一个区间上的概率,最后利用在关于x=μ对称的区间上概率相等求得结果.(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为.提示:由题意知μ=4,σ=2,∴P(μ-σX≤μ+σ)=P(2X≤6)=0.6826.xx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、正态曲线的图象活动与探究问题:怎样理解正态分布?提示:(1)参数μ和σ的意义:正常分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ就是随机变量X的均值,它可以用样本的均值去估计;参数σ就是随机变量X的标准差,它可以用样本的标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布.(2)正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都服从或近似地服从正态分布,如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等.(3)一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1如图所示的是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.思路分析:给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是12π,所以μ=20,12πσ=12π,则σ=2.所以概率密度函数的解析式是f(x)=12πe-(𝑥-20)24,x∈(-∞,+∞).总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=(2)2=2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用如图是正态分布N(μ,𝜎12),N(μ,𝜎22),N(μ,𝜎32)(σ1,σ2,σ30)相应的曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是().A.σ1σ2σ3B.σ3σ2σ1C.σ1σ3σ2D.σ2σ1σ3答案:Ax课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式,关键是确定参数μ和σ的值,并注意函数的形式.(2)当x=μ时,正态分布的概率密度函数取得最大值,即f(μ)=12πσ为最大值,并注意该式在解题中的应用.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU二、利用正态曲线的对称性求概率活动与探究例2已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X4)=0.84,则P(X≤0)=().A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84思路分析:画出正态曲线,结合其意义及特点求解.答案:A解析:由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X4)=1-0.84=0.16.问题导学当堂检测xxx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ-1.96)=0.025,则P(|ξ|1.96)=().A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975答案:C解析:由已知正态曲线的对称轴为x=μ=0,则P(ξ-1.96)=P(ξ1.96)=0.025,故P(|ξ|1.96)=1-P(ξ≥1.96)-P(ξ≤-1.96)=0.950.xx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.设X~N0,14,则P(-1X1)的值为.答案:0.9544解析:由题意可知,μ=0,σ=12,故P(μ-2σXμ+2σ)=P(-1X1)=0.9544.xx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.(1)熟记正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.(2)P(Xa)=1-P(X≥a);P(Xμ-a)=P(Xμ+a).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、正态分布的应用活动与探究例3在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少?(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人?思路分析:正态分布已经确定,则总体的期望μ和标准差σ就可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ=100=10.(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.(2)由μ=90,σ=10得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ]内取值的概率是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.6826.一共有2000名考生,所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是().A.997B.954C.819D.683课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测答案:D解析:由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5X≤62.5)=P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.x课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法:(1)根据题目中给出的条件确定μ,σ的值;(2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化;(3)利用上述区间求出相应的概率.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测123451.设随机变量X~N(1,22),则D12X=().A.4B.2C.12D.1答案:D解析:因为X~N(1,22),所以D(X)=4,所以D12X=14D(X)=1.xx课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KE