相似矩阵-华南农业大学精品课程申报

●相似矩阵设A和B为n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵P，使得，则称A相似于B，或说A和B相似。1PAPB基本性质（1）反身性A相似于A。（2）对称性A相似于B，则B相似于A。（3）传递性A相似于B，B相似于C，则A相似于C。定义●相似矩阵的性质1PAPB1PAPB1PAPB11PPAPPAAB若A和B相似，则（1）（2）()()RARBAB证明（1）1PAPB1()()RPAPRB()()RARB（2）1PAPB1()()trBtrPAP1()()trAPPtrA1PAPBBE1PAPE1()PAEP1PAEPAE（3）()()trAtrB（4）AEBE证明证明（特征多项式相同）（有相等的迹）推论如果n阶方阵A相似于对角形矩阵12n则是A的全部特征值。12,,,n●一般方阵的对角化定理n阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。12n充分性111,AnnnA,111()()nnnA1()nP记APP1PAP,,n1设方阵A的n个线性无关的特征向量对应的特征值分别为，则,,n1必要性设A相似于对角矩阵1ndDd即存在可逆矩阵B，使得1BABD1(,,)nB1BABDABBD111(,,)(,,)nnnAdd111,,nnnAdAd由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且线性无关。1,,n1,,n推论如果n阶方阵A有n个不同的特征值则方阵A相似于对角矩阵1,,,n1n460350361A例用相似变换化矩阵为对角形解A的特征方程为460350361AE2(2)(1)得特征值为1232,1对于12,可求得特征向量1(1,1,1)123120110101P1120110121P1200010001PAP对于231,可求得线性无关的特征向量23(2,1,0),(0,0,1)令则且121nPAP112mmmmnAPP●利用对角化计算矩阵的乘幂3234A例设20A求解A的特征方程为3234AE(1)(6)特征值为121,611对应的特征向量为1(1,1)26对应的特征向量为2(2,3)解齐次方程组0AEX27660AEX解方程组202011006APP2012103211306115121213P110,06PAP11006APP令则有因此定理设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得,PAP其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。●对称矩阵的对角化例用正交变换把下列对称矩阵对角化222254245解（１）求方阵Ａ的特征值由0AE得特征值1231,10（２）求特征向量310,对于121,对于0AEX解方程组122,1,0,2,0,1TT得一个基础解系解方程组100AEX得一个基础解系31,2,2T（３）将特征向量组正交化、单位化令112,1,0T2122111,12,4,5,5T331,2,2T111112,1,05Te222112,4,535Te333111,2,23Te正交化单位化（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵令1232525151535452,,515352033Peee则有11110TPAPPAP333311311A用正交变换把下列对称矩阵对角化400031013A