人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。六、教学媒体幻灯片、黑板。七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。再用课件给学生进行演示：通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？2、椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数记作2a，焦距记作2c，则有2a＞2c。注意：这里的常数必须大于|F1F2|。如果常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，必须得加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”。3、椭圆标准方程的推导首先复习求曲线方程的一般步骤：①建系设点；②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程。（1）建系设点：设椭圆的焦距为2c（c＞0），M与F1、F2的距离之和为2a，以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0），F2（c，0）。（2）动点M满足的几何条件：由椭圆的定义不难得出动点M满足的条件为：aMFMF221(3）动点M满足的代数方程：∵221)(ycxMF∴aycxycx2)()(2222（4）化简方程：（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知，2a2c,即ac,所以a2-c20。令a2-c2=b2,其中b0,代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2,两边同除以a2b2,得12222byax（ab0）,此即为椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在坐标原点的椭圆方程。其中222bca。如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标分别为F1（0，-c）、F2(0,c)，a、12yoFFMxb的意义同上，那么所得方程变为12222bxay（ab0）4、标准方程的观察、对比当焦点落在x轴上时，焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)；当焦点落在y轴上时，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c)。请同学们思考：焦点的位置和方程之间有什么关系呢？那下面这个方程它的焦点位置又该如何来判断呢？①当mn时，焦点在x轴上，此时m=a2，n=b2；②当mn时，焦点在y轴上，此时m=b2，n=a2。判断椭圆焦点位置的方法：观察含x的项和含y的项，哪个项的分母较大，焦点就在相应的那个轴上。（三）例题讲解例1、（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－4，0）,F2（4，0），椭圆上任一点P到F1、F2的距离之和为10，求椭圆的标准方程；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（-3/2,5/2），求椭圆的标准方程。解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222byax（ab0）∵2a=10,2c=8，∴a=5,c=4.∴b2=a2-c2=52-42=9.所以所求椭圆的标准方程为192522yx.（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为12222bxay（ab0）由椭圆的定义知，2222)225()23()225()23(2a122nymxnmnm且，0010211023102∴a=10又c=2∴b2=a2-c2=10-4=6所以所求椭圆的标准方程为161022xy例2、已知B,C是两定点，6BC，三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程。分析：由△ABC的周长等于16，6BC可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即10616ACAB,因此，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，据此可建立如下的草图（图8-1）解：如图8-1，建立坐标系，使x轴经过点B、C,原点O与BC的中点重合。由已知16BCACAB,6BC,有10ACAB，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10,∴c=3,a=5,b2=a2-c2=52-32=16.图8-1但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是)0(1162522yyx注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。（四）巩固练习1、平面内两定点的距离是8，一动点M到这两定点的距离之和是10，建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程。2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；xyBCAO（2）a2=16，c2=15，焦点在y轴上；（3）a+b=10,c=52。（五）课时小结本节课学习了椭圆的定义及椭圆的标准方程，在实际解题过程中应注意：（1）一个重要关系式：a2=b2+c2且ab0；（2）椭圆的焦点位置由含x，y的分式的分母大小来确定；（3）当2a=2c时，轨迹为线段，当2a2c时，轨迹不存在。（六）课后作业教材P106—107，习题8.1:3、4、5、6思考题：若1162422kykx表示椭圆，则k的取值范围是？八、板书设计九、教学反思8.1椭圆及其标准方程一、椭圆的定义二、椭圆的标准方程三、例题讲解例1例2四、巩固练习练习1练习2