2017-2018学年江西省赣州市高一上学期期末考试数学试卷(解析版)

2017-2018学年江西省赣州市高一上学期期末考试数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2-1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.若sin（2π+α）=13，tanα＜0，则cosα=（）A.−2√23B.−13C.13D.2√233.设f（x）={1−√𝑥，𝑥≥02𝑥，𝑥＜0，则f（f（-2））=（）A.−1B.14C.12D.324.已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0））在区间[0，2π的图象如图：那么ω=（）A.1B.2C.12D.135.函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)6.三个数a=cos12018，b=lg12018，c=312018之间的大小关系是（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑎𝑐𝑏C.𝑏𝑐𝑎D.𝑏𝑎𝑐7.设f：x→x是从集合A到B的一个映射，且B中每一个元素都有原像，若A={-1，0，1}，则A∩B=（）A.{−1,0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}8.若tanα=1+lgt，tanβ=lg1𝑡，且α+β=𝜋4，则实数t的值为（）A.110B.1C.110或1D.1或109.已知a＞0，a≠1，则f（x）=loga2𝑥+1𝑥−1的图象恒过点（）A.(1,0)B.(−2,0)C.(−1,0)D.(1,4)10.在△ABC中，若sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.不含60∘的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形11.已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（-2017）+f（2018）的值为（）A.−2B.−1C.1D.212.设常数m使方程cosx=m在区间（𝜋2，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）且x22=x1•x3，则实数m的值为（）A.−√22B.−12C.12D.√22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若幂函数的图象经过点（2，√2），则f（19）=______．14.tan𝜋8+1𝑡𝑎𝑛𝜋8=______．15.若𝑙𝑜𝑔𝑎25＜1，则a的取值范围______．16.下列判断错误的是______（填写序号）①集合{yy=𝑥𝑥}有4个子集；②若α≠β，则tanα≠tanβ；③若log2a＞log2b，则2a＞2b；④设函数f（x）=log2x的反函数为g（x），则g（2）=1；⑤已知定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）内有1008个零点，则函数f（x）的零点个数为2017．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集为U=R，集合A为函数y=log21(𝑥−2)(3−𝑥)的定义域，B={x52＜x≤5}，C={≥m}．（1）求（∁UA）∩B；（2）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围．18.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜𝜋2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0𝜋2π3𝜋22πx𝜋35𝜋6Asin（ωx+φ）02-20（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卷上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若f（𝛼2）=13，求cos（2α+2𝜋3）的值．19.已知函数f（x）=4𝑥−𝑎2𝑥（a∈R）是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明f（x）在R上的单调性．20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图①；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②．（注：收益与投资额单位：万元）（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21.已知函数f（x）=4cosxsin（x+𝜋6）-1．（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将y=f（x）图象上所有的点向右平行移动𝜋6个单位长度，得到y=g（x）的图象．若g（x）在（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．22.已知函数y=x+𝑡𝑥有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，√𝑡上是减函数，在[√𝑡，+∞）上是增函数．（1）已知（x）=4𝑥2−12𝑥−32𝑥+1，x∈[0，1利用上述性质，求函数f（x）的值域；（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x+2a．若对任意x1∈[0，1，总存在x2∈[0，1，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为A={2-1=0}，∴A={-1，1}对于①1∈A显然正确；对于②{-1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对③∅⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；对④{1，-1}⊆A．同上可知正确．故选：C．本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答时，可以先将集合A的元素进行确定．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识．值得同学们体会反思．2.【答案】A【解析】解：由于：sin（2π+α）=，则：，由于：tanα＜0，故：，所以：cos．故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：∵，∴f（-2）=2-2=，f（f（-2））=f（）=1-=．故选：C．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．4.【答案】B【解析】解：由图象知函数的周期T=π，所以．故选：B．由图象确定周期T，进而确定ω．本题考查三角函数中周期T与ω的关系．5.【答案】D【解析】解：易知函数f（x）=x3+2x-5是连续函数，由于f（1）=-2＜0，f（2）=8+4-5=7＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的区间为（1，2），故选：D．函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的区间，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间，由此可得结论．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：a=cos∈（0，1），b=lg＜0，c=3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．利用三角函数、指数函数与对数函数的单调性即可判断出大小关系．本题考查了三角函数、对数函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意知A={-1，0，1}，对应关系f：x→x，B={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：B．由题意求出集合B，再计算A∩B．本题考查了映射的定义与集合的运算问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵tanα=1+lgt，tanβ=lg，且α+β=，∴tan（α+β）=tan=1==，∴1=1-（1+lgt）lg，∴（1+lgt）lg=0，∴10t=1或=1，∴t=或1．故选：C．由α+β=，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数t的值．本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题．9.【答案】B【解析】解：令=1，解得：x=-2，故f（-2）=loga1=0恒成立，即f（x）=loga的图象恒过点（-2，0），故选：B．令=1，解得x=-2，y=0，进而得到f（x）=loga的图象恒过点的坐标．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．10.【答案】D【解析】解：∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，∴sinC=1．∵C∈（0，π），∴．∴△ABC的形状一定是直角三角形．故选：D．利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出．本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵f（-2017）=f（2017）=f（1）=log22=1f（2018）=f（0）=log21=0∴f（-2017）+f（2018）=1故选：C．由偶函数和周期性把自变量转化到已知区间求解．本题考查了函数的奇偶性和周期性，把自变量转化到已知区间是关键．12.【答案】B【解析】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，方法一：（排除法）方程cosx=m在区间（，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则-1＜m＜0，故排除C，D，当m=-时，此时cosx=-在区间（，3π），解得x1=π，x2=π，x3=π，则x22=π2≠x1•x3=π2，故A错误，当m=-时，此时cosx=-在区间（，3π），解得x1=π，x2=π，x3=π，则x22=π2=x1•x3=π2，故B正确，方法二：（直接法），方程cosx=m在区间（，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则-1＜m＜0，∵x1＜x2＜x3，∴＜x1＜x2＜，＜x3＜3π，且x1+x2=2π，x2+x3=4π，∵x22=x1•x3，∴x22=（2π-x2）（4π-x3），解得x2=，∴x1=，x3=经检验满足题意，∴m=cos=-故选：B．分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，方法一：结合图象可得则-1＜m＜0，故排除C，D，再分别令m=-，m=-，求出x1，x2，x3，验证x22=x1•x3是否成立，方法二：根据对称性质可得x1+x2=2π，x2+x3=4π，由x22=x1•x3，可得x22=（2π-x2）（4π-x3），解得求出x1，x2，x3，即可求出m的值本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想，属于中档题13.【答案】13【解析】解：设幂函数f（x）=xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α=，解得α=；∴f（x）==，∴==．故答案为：．利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值．本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．14.【答案】2√2【解析】解：∵，∴，解得tan=．∴tan+=．故答案为：由，展开二倍角的正切求得tan，则答案可求．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题．15.【答案】0＜𝑎＜25或𝑎＞1【解析】解：由=logaa当a＞1时，函数y=logax在（0，+∞）单调递增由可得∴a＞1当0＜a＜1时，函数y=logax在（0，+∞）单调递减由可得综上可得，故答案为：当a＞1时，由，结合函数y=logax在（0，+∞）单调递增；当0＜a＜1时由，结合函数y=logax在（0，+∞）单调递减可求本题主要考查了对数函数的单调性在解不等式中的应用，体现了分类讨论思想在解中的应用．16.【答案】①③⑤【解析】解：①集合{yy=}={1，-1}有4个子集，故①正确；②若α≠β，比如α=30°，β=210°，则tanα=tanβ，故②错误；③若log2a＞log2b，可得a＞b＞0，则2a＞2b，故③正确；④设函数f（x）=log2x的反函数为g（x），可得g（x）=2x，则g（2）=4，故④错误；⑤已知定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）内有1008个零点，可得f（x）在（0，+∞）内有1008个零点，则函数f（x）的零点个数为2×100