余弦定理第一课定稿课后修正稿

余弦定理【学习目标】1．理解余弦定理的证明．2．初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．【教学重难点】1．教材给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的重要作用．2．利用向量作为工具推导余弦定理时，向量知识可能被遗忘，要注意复习，要准确运用向量的减法法则和向量夹角的概念．3．余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．课时安排：两课时教学过程：提出问题：我们知道已知三角形中SSA和AAS式都能够使用正弦定理来解三角形，那么如果已知两边及其夹角或者已知三边的长的时候即SSS和SAS式的三角形的形状和大小确定吗？能使用正弦定理解出三角形吗？分析问题：对于SSS和SAS式的三角形其形状和大小都是确定的，故原则上是可以确定其他的边和角的大小，只是用正弦定理解不方便。分析问题：问题一：对于SSS式的三角形而言，有什么隐含关系式吗？（教师必须特别强调我们需要一个既有长度又能表示方向和角度的量来转化条件，帮助学生联想）1使用向量来转化边角关系转化问题：如图，假设已知一个三角形的两条边a,b,c，求角A角B角C的大小。解析：如图所示：设CBa，CAb，ABc，则ABCBCA即：cab即：22cab2222caabb2222cos,cababab2222cosCcabab222cosC2abcab同理可证：222cos2bcaAbc，222cos2acbBab问题二：对于SAS式三角形，有什么隐含关系式吗？（教师必须刻意回避上述公式直接使用，并且回避使用向量，联想角度和向量最终我们都能使其坐标化）2运用坐标转化边角关系转化问题:如图已知三角形ABC中b,c及A，求a及B,C.如图所示：以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则各点坐标如图所示∵B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．∴BC2＝b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.提出问题：实际上是用上述公式能直接解决SSS和SAS式三角形的求解吗？归纳小结：1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的所夹的角的余弦的积的两倍．即：2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222cosCcabab222cos2abcCab强调：1正弦定理和余弦定理是隐含在三角形边和角上的等量关系，是三角形的固有属性，对任意三角形都成立，例如：勾股定理是余弦定理的一种特殊情况当角为直角时，所得即勾股定理。2公式记忆口诀：两边夹角：右侧公式上方是个类似勾股定理的平方的和差表达式，下方是形成角的两边乘积的两倍，分子的前两项和分母恰好是一个完全平方式的三项。3从方程的角度来看，每个公式都是三边一角，故可以用来解决如：SSS,SAS,ASS式的三角形的求解问题。练习：在△ABC中，（巩固公式）(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝.例题讲解：题型一：SAS式例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2，解法一：由正弦定理得sinA＝asinCc＝12，又因为0A18030150A或因为ba，所以BA，所以A＝30°.（本题很多同学都直接选择了两个选项，因为角度能保证180ABC成立，在讲解时稍作停顿，先使用方法二求出一个解，在来探究两种方法的优与劣，而后思考限定条件）解法二：由余弦定理：2223coscos=22bcaAAbc0A180所以30A强调：1解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．2解角度可以从正弦定理和余弦定理两个方向入手，但是显然余弦定理更加准确，因为cosyx在0,上是单调递减的，是一个一一映射，函数sinyx在0,上是多对一，解出的两个角度一般是互补的。3三角形隐含的条件十分的多，解决问题时不仅仅照顾到三内角和满足180ABC，还要关注大角对大边，大边对大角的使用。跟踪训练：在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.解：由题意知a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝19.练习：23,62,B45ABCac中，求b,A,C(解析：2b=2,A=60,C=75)题型二SSS式例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．解∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°∴△ABC的最大内角为120°.课堂练习1：5,7,8,ABCabc中，求最大角和最小角之和。2ABC中，已知a:b:c=2:3:4,求最大角的余弦，并判断三角形的形状。强调：三角形三内角可以相互转化，角的大小和边的大小保持一致。180ABC故+AB与C是互补的，同时902ABC故+22AB与2C是互余的。练习1:3,5,7,ABCabc中，求最大的角。（120C）题型三SSA式例3分别使用余弦定理和正弦定理解下列三角形。1》已知23,2,B45ABCac中，b=2求角A,角C,边。（由老师讲解一个，学生上台做两个）解析：（正弦定理略）方法二（余弦定理）解：由余弦定理得222222cos2cos=2acbBacBacbac222223c12826402ccc268622c当62c时，2222862124431cos2222262831bcaAbc0180A60A180ABC18075CAB当62c2222862124431cos2222262831bcaAbc0180A120A180ABC18015CAB综上：当62c时，60A，75C当62c时，120A，15C2》已知2,2,B45ABCac中，b=2求角A,角C,边解：由余弦定理得222222cos2cos=2acbBacBacbac22222c4822402ccc2224262c260c不合题意，舍去，当62c时，2222862412433cos2222262831bcaAbc0180A30A180ABC180105CAB综上：62c，30A，105C3》已知4,2,B45,ABCac中，b=2求A,C,（解略）强调：使用余弦定理在求解的时候，要么有两个解，解出两个三角形，要么一个解解出一个三角形，不存在讨论的问题。练习：1137,8,cos14ABCac，b=C=求及最大的角22,22,ABCac，b=C=15求及最大的角320,202,ABCa，b=B=45求A备选例题：例41,ABCAB中AC=2求角C的取值范围。解析：由已知：13BC，222233cos2424abcaaCabaa1,3a又324ayfaa在1,3上单调递增，112f，122f11cos22C0180C60120C课时小结：利用余弦定理可以解决三类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．（3）已知两边及其一边的对角。（可以选择正弦也可以选择余弦）作业：1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为(B)A．52B．213C．16D．42．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为(B)A.π3B.π6C.π4D.π123．在△ABC中，已知A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为___4___．4．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．5在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()提出问题：在三角形的边和角中有正弦定理和余弦定理两个等量关系，那么是不是只有这两个等量关系呢?还有没有其他的等量关系呢？跟踪训练2在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k0)．c最大，cosC＝k2＋k2－k22×2k×4k0，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．例3在△ABC中，acosA＝bcosB，试确定△ABC的形状．解方法一利用正弦定理化边为角．acosA＝bcosB⇔2RsinAcosA＝2RsinBcosB⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二利用余弦定理化角为边．acosA＝bcosB⇔a·b2＋c2－a22bc＝b·c2＋a2－b22ca⇔a2(c2－a2)＝b2(c2－b2)⇔a4－b4－a2c2＋b2c2＝0⇔(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝0⇔(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＝b2或a2＋b2－c2＝0∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．强调：正弦定理和余弦定理都是隐含在三角形中的边与角的等量关系，从使用技巧上来看有角化边和边化角两个方向。跟踪训练3在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解析：由余弦定理，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．