例说增量换元法在不等式证明中的应用_左雪蕾(上海)

例说增量换元法在不等式证明中的应用□上海左雪蕾增量换元的一般形式类似“若已知ax，则可设tax，0t”，用一个正数t（不妨称之为增量，不过广义的增量，可以也为负数）换掉了x，本质上是一种线性换元.由于t较x简单，于是可能使条件或者结论变得简明清晰.我们将在如下几例中品味.例1设实数cba，求证：222222cabcabaccbba.证明令21,abbc，其中0,21.用作差法，去括号计算便知：右边-左边12120.□注：本题不能简单的用排序不等式证明.作差，右边-左边，整理成关于a的二次函数为cbbcacbabc22222，尽管0，但用主元法可以分解因式得0acabbc，和通过增量换元的结果一致，过程似乎更简洁.但引入21,这两个增量，用等式刻画条件不等式参与恒等变形，起初形式比较复杂，通过消去，最后变得很简洁而充分暴露了问题要害.例2已和0abcd，且dcba，求证：adbc.证明可设1dcba，其中0.则ddcbba,，从而dbbda，ddbcb.故adbc.□注：尽管本例用等比性质甚至更简单：dbcadcba1.但是通过增量换元，将条件转化为等价的整式恒等式而把已知不等关系“溶”于等式中进行恒等变换，这便是增量换元的优势所在，避开了不等式可能导致的过度放缩.这里引入的增量与例1中有点区别，不妨将例1中的叫绝对增量，这里的叫相对增量.例3设0xyz，0w，且0xzyw，求证xzyw.证法一注意到0xwxzywyz，本题与例2很相近，考虑用类似的方法：设tzwyx1,1，其中，t,0.则ztzwyyx,.从而xzywztyztzyzyy，而ztzy，故原命题得证.□证法二设21,yxzy，其中0,21.则xzywwz2，而由0xzyw即xzyw，有21211zzzzwz.故2zw，从而原结论成立.□例4设正数列na前n项和为nS，对1n均有32nSn，1212nnaaa，试证na中至少有一项小于1.证明（反证法）若不然，假设nibbaiii,,2,1),0(1.则221nbbbn，211111212121nbbbbbbnnn.矛盾！故原结论成立.□例5已知Rdcba,,,，若dcba且)(dcabcdba.试证：cdabdcba2.证明设1badc，其中0.则abcd1，cdabababbadcba2221412.要使得等号成立，须且仅须dcba，cdab，且ba.即取“=”dcba.□注：本题是一道常见习题的改编.原题条件和本题相同，只是求证的结论较弱：cdabdcba.一些书上给的是反证法：假设cdabdcba此即dbcabdac，而bdca，须有0db，若不然，得到矛盾不等式002dbbdac.从而有0ca，这将导致acbbcdacdcdbadcabbad与已知矛盾，从而假设不对、结论成立.笔者注意到这里放缩“很慷慨”，并且若将不等式左边展开，会产生4个两两积，于是考虑右边系数是否可以加强为2.观察条件选用增量换元法，通过精细放缩，得到了最佳结果.