例说求函数的最大值和最小值的方法

数学驿站是正实数，求函数xxxy32的最小值。解：先估计y的下界。55)1(3)1(5)21(3)12(222xxxxxxxy又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222xxxxxxxy但y是取不到7的。即7不能作为y的最小值。例2.求函数1223222xxxxy的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当21y时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以=[2(y+1)]24(2y1)(y+3)0,y2+3y-40,所以4y1又当31x时，y=4;x=2时，y=1.所以ymin=4，ymax=1.说明本题求是最值的方法叫做判别式法。数学驿站xxy，x[0,1]的最大值解：设]2,1[1ttx，则x=t21y=2(t21)+5t=2t2+5t+1原函数当t=169,45x即时取最大值833例4求函数223,5212xxxxy的最小值和最大值解：令x1=t(121t)则tttty4142ymin=51,172maxy例5.已知实数x,y满足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵)(2122yxxy∴6)(23),(2222yxxyyxyxf又当2yx时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因为)(2122yxxy∴21)(21),(2222yxxyyxyxf数学驿站yx时f(x,y)=21，故f(x,y)min=21例6.求函数2224)1(5xxxy的最大值和最小值解：原函数即111)1(5222xxy令112xt(0t1)则y=5t2t+1∴当x=3时，函数有最小值2019，当x=0时，函数取最大值5例7.求函数|]211[1|)(xxxf的最大值解：设}211{,]211[xnx，则f(x)=|21|1|nx由于01,故f(x)21，又当x=122k(k为整数)时f(x)=21,故f(x)max=21例8.求函数113632424xxxxxy的最大值解：原函数即222222)1()0()2()3()(xxxxxf在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA||PB||AB|=10数学驿站x时，f(x)=10故fmax(x)=10例9.设a是实数,求二次函数y=x24ax+5a23a的最小值m，当0a24a210中变动时，求m的最大值解：y=x24ax+5a23a=(x2a)2+a23a由0a24a210解得：622a或62a6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点)2,3(yx在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)f(x)的最大值。解因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点)2,3(yx在y=g(x)的图象上，所以)3(2xgy故)13(log21)(),1log(21)3(2xxgxxg2222)1(13log21)1(log)13(log21)()()(xxxxxfxgxp令2)1(13xxu，则8989)4311(213)1(2)1(2)1(3222xxxxxu当4311x，即31x时，89u，所以89maxu数学驿站)(2maxxp。例11.已知函数2622xbxaxy的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。解：将原函数去分母，并整理得(ay)x2+bx+(62y)=0.若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以ya。于是=b24(ay)(62y)0,所以y2(a+3)y+3a82b0.由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y2)(y-6)0,即y28y+120.由(1)、(2)得1283832baa解得：62,5ba例12.求函数48148)(22xxxxxf的最小值和最大值。解先求定义域。由048140822xxxx最6x8.]8,6[,686)6(8)(xxxxxxxxf当x[6,8]，且x增加时，6xx增大，而x8减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以fmax(x)=f(8)=0,fmin(x)=f(6)=032例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求2222zyzyzxy的最大值数学驿站分析：欲求2222zyzyzxy的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yzk(x2+y2+z2)∵x2+y22xy(1)y2+z221yz∴x2+y2+z22xy+21yz令2=1,则=51解：∵yzzyxyyx5454,52512222∴)2(52222yzxyzyx即252222zyxyzxy又当x=1,y=5，z=2时，上面不等号成立，从而2222zyzyzxy的最大值为25例14.设函数f:(0,1)R定义为qpqpqpxqpxxxf0,1),(,1)(当是无理数时当求f(x)在区间)98,87(上的最大值解：(1)若x)98,87(且x是无理数，则f(x)=x98数学驿站(2)若x)98,87(且x是有理数，设qpx，其中(p,q)=1,0pq,由于91888781981789879887qpqqppqqppqqp所以63q+964q8，∴q17因此1716989898819181)()(qqqqqqpqpfxf1716)1715(f∴f(x)在区间)98,87(上的最大值1716)1715(f作业：1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值2.设x,y是实数，且0622222yxyxyx求u=x+y的最小值3.已知x1,x2是方程x2(k2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值4.求函数xxxxy243222的最小值