例谈正弦余弦函数有界性的应用

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共3页搜资源上网站例谈正弦、余弦函数有界性的应用山东孙道斌正弦、余弦函数的有界性，即1|cos|,1|sin|xx。此结论在解题中有着广泛的应用。举例说明。1.求值域或最值例1求函数3cos2cos4xxy的值域。解：原函数可变为：1234cosyyx，因为1|cos|x，即1|1234|yy，解得553y，故所求函数的值域为]5,53[。例2求函数xxxycossinsin2的最值。解：由原函数得：xxy2cos212sin2121，即)4sin(2221xy，又1|)4sin(|x，所以)21(21)21(21y，故)21(21),21(21maxminyy。2.证明等式或不等式例3已知23)cos(coscos),0(且、，求证：12cos。证明：因为23)cos(coscos，2312cos22cos2cos22，即012cos2cos42cos42①彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共3页搜资源上网站因为2cos是实数，0162cos162，即1|2cos|，而1|2cos|，所以1|2cos|，又),0(、，所以222，02cos，所以12cos。又当12cos时，方程①有解212cos，故12cos。例4在ABC中，求证：812sin2sin2sinCBA。证明：2sin)2cos2(cos212sin2sin2sinCBABACBA=2sin212sin2cos212CCBA2sin212sin212CC=8181)212(sin212C，当12cosBA且212sinC，即3CBA时，取等号。3.求参数的范围例5要使mm464cos3sin有意义，求m的范围。解：因为)60sin(2cos3sin0，故mm432)60sin(0，又1|)60sin(|0，即1|432|mm，解得371m。4.讨论函数的性质例6证明函数21)(xxxf在R上有界。彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第3页共3页搜资源上网站证明：令tanx，则21|2sin|21|cossin||sectan||tan1tan||)(|22xf，故函数21)(xxxf在R上有界。例7设a为无理数，求证函数axxxfcoscos)(不可能是周期函数。证明：假设axxxfcoscos)(是周期函数，则存在常数0T，使对于任意的axxTxaTxxcoscos)(cos)cos(,都成立。令0x得：20cos0coscoscosaTT①因为1|cos|,1|cos|aTT，所以①成立必有1coscosaTT，所以)(2,2ZlklaTkT、，所以kla，由于Zlk、，所以kl为有理数，即a为有理数，这与已知a为无理数矛盾，故函数axxxfcoscos)(不可能是周期函数。