例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件例谈高中数学一题多解和一题多变的意义摘要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题：已知tanα=43,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα=43=cossin，且sina2α+cos2α=1。两式联立，得出：cos2α=2516,cosα=54或者cosα=-54；而sinα=53或者sinα=-53。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=43：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α=cossincos2225=tan211=2516cosα=54sinα=cos21=53而在第三象限时：cosa=-54sina=-53分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三tanα=43=cossin↔4cos=3sin↔4cos=3sin=±34cossin2222∴sinα=53，cosα=54或sinα=-53，cosα=-54分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四当α为锐角时，由于tana=43,在直角△ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA=ABBC=53,cosA=ABAC=54∴sinα=53，cosα=54《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件或sinα=-53，cosα=-54分析：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT，因为tanα=43，则T点坐标是T(1,43),由勾股定理得：OT=4321=45∵△OMP∽△0AT∴ATMP=OAOM=OTOP，OM=54,MP=53,p(54,53),∴sinα=53，cosα=54或sinα=-53，cosα=-54分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y=43x；x2+y2=1两式联立，得出：5453xy，或5453xy.T点坐标是P(-54,-53)P(54,53)∴sinα=53，cosα=54或sinα=-53，cosα=-54分析：先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七tanα=43=cossin4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+φ）=0,其中，sinφ=53,cosφ=54∴a+φ=kπ，k∈Zsina=sin（kπ-φ）=sinφα在第一、三象限∴容易求出sinα=53，cosα=54或sinα=-53，cosα=-54分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tanα=22tan212tan=433tan22+8tan2-3=0∴tan2=-3,或tan2=31《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件sinα=2sin2cos2=22cossin2cos2sin222=2212tan2tan2∴sinα=53，cosα=54或sinα=-53，cosα=-54判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：变式1：已知tanα=-3，求sinαcosα的值变式2：已知tanα=m，求sinα，cosα的值变式3：已知sinα=m，求cosα，tanα的值由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。