促进数学概念学习的策略

1促进数学概念学习的策略南洋中学周英儁数学离不开概念，数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映，在数学教学中有着极其重要的地位，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。概念作为一种思维形式，是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映，是判断和推理的基础，也是培养学生逻辑思维能力的必要条件。概念作为思维的工具，一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念。相反地，如果对学习概念重视不够，或是学习方法不当，既影响对概念的理解和运用，也直接影响着思维能力的发展，就会表现出思路闭塞、逻辑紊乱的低能。如何加强数学概念教学，促进学生素质的提高呢？1．通过研究各种不同的例子，能较彻底地获得概念从心理学角度形成概念的关键在于抽象出刺激中的共同属性，舍去个别的、偶发的、无关的属性，概括出共同属性，而这一活动过程需要对不同的事例进行分析、归纳，这样才有助于概念的形成。例如：学习“平方根”概念，可通过对下列一些事例的研究得到其概念。若22=4，则2称为4的平方根若4)2(2，则-2称为4的平方根若94)32(2，则32称为94的平方根若94)32(2，则32称为94的平方根若02=0，则0称为0的平方根若a2=a2，则a称为a2的平方根若(-a)2=a2，则-a称为a2的平方根若(a+b)2=a2+2ab+b2，则a+b称为a2+2ab+b2的平方根……在这个例子中举了一些底数不同的情况（如底数是正整数、负整数、分数、单项式、多项式等），目的是为了得到平方根概念的共有属性：一个数的平方根等于a，最终形成正确的平方根概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数称为a的平方根。2．通过类比，能很好地巩固概念中学数学中的许多概念有本质不同的一面，又有内在联系的一面。学习时如果只注意某一概念本身，忽视不同概念之间的区别，那么就会使对概念的掌握停留在肤浅的表面上，因此，我们可采用比较的方法区别异同。通过比较，排除那些与概念中描述无关或相异的性质，突出概念中强调的性质。例如：学习“函数”概念，可通过下面的比较来加以巩固。看下列从集合A到集合B的映射：2在图（1）中，B中每一个元素在A中都有唯一原象，在图（2）中，B中每一个元素在A中都有原象（但不唯一），在图（3）中，B中部分元素在A中无原象，那么，（1）（2）相应的映射均为函数，而图（3）不是函数。映射作为函数必须满足以下两条：集合A、B是非空的数的集合；集合B中每一个元素在A中都有原象。正确的概念常常是在同错误的概念作比较过程中逐步建立起来的。如算术根概念，初学者常有下述错误：1)1(2x=(x-1)+1=x。学习时可分别在x≥1与x1两区间中取一些数代入，产生矛盾，分析错误的原因，从反例中加深对概念的理解。本例还说明，通过变换多种形式，如2)1(x（x≥1）与2)1(x（x1）的两种形式，比较后能确定概念的实施范围。两个数学对象进行比较，也可找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其他一些属性。例如，在引入二面角的概念时，先提出平面几何中角的概念加以类比，角(∠AOB)的定义中从一点O引出两条射线(OA、OB)所组成的图形，而二面角(α-l-β)则是从一条直线引出的两个半平面(α、β)所成的图形；角有一个顶点有两条边，而二面角则有一条棱和两个半平面；同时角可以看作在一个平面内一条射线由它的初始位置开始，绕这条射线端点旋转而成的图形，而二面角同样可以看作是一个半平面绕着这条棱旋转而成的图形。总之，抓住新旧知识的本质联系，有目的、有计划地让学生将有关新旧知识进行类比，就能很快地得出新旧知识在某些属性上的相同（相似）的结构而引进概念。3．新旧概念建立联系，能加深对概念的理解。把新概念与已有认知结构中适当的概念建立联系（从属关系、交叉关系、并列关系等），同时新观念与有关概念进一步分化、融会贯通，形成一个统一整体。通常在概念的属与种的联系中，种概念的内涵在属概念的教学过程中已有部分被揭示了，这就没有必要再经感性认识阶段，而可直接从已有的数学概念中加以定义。例如在学习四棱柱时，会遇到许多特殊的四棱柱，我们可利用关系图（如图所示）来巩固这些概念。在给出了“棱柱”的概念后，当底面为平行四边形时就成了平行六面体等，这样反而容易理解和对比记忆。图中的每一个数学概念都不是孤立的，各概念之间关系及异同点在图中也很容易找出。（1）（3）（2）AAABBBb1b2b3a1a2a3a1a2a3b1b2b3a1a2a3b1b2b33另外，有些概念是由于数学内在发展需要而直接引入的。如在实数范围内方程x2+1=0没有解，为了使它有解，就引入一个新数i，i满足x=-1，它和实数在一起可以按四则运算法则进行运算，由此引入复数的概念，于是方程x2+1=0就可解了。4．剖析不是概念的例子，能深化概念。数学概念往往都是从正面阐述的，这常会导致“满以为掌握了概念，但碰到具体的数学问题却又难以作出正确判断”的情况。如果通过反例从反面或侧面去剖析，突出事物中隐藏的本质，那么就可深化对概念的理解。例如，关于“集合概念”的学习，教材上给出了许多正面例子，说明集合的三特征——确定性、互异性、无序性。为加深对这三个特征的理解，学习过程中可用如下反例：下面各组对象的全体是否分别组成集合？（1）很小的分数；（2）我们高二（7）班所有成绩好的同学；（3）3，-0.5，0，9，（-3.2）2；（4）质量好的电视机。通过分析，明确（1）（2）（4）不满足确定性，（3）不满足互异性。利用这些反例使学生对集合的特性有了深刻理解，增强了认知的鲜明性。反例的适当使用不但可以使学生对概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰。如学生往往把“复数的模”与“实数的绝对值”这两个概念混淆起来，出现诸如“|z1|=|z2|，则z1=z2”之类的错误。通过反例“z1=i，z2=1，有|z1|=|z2|，但z1z2”，能很好的够纠正这种错误。又如，学生在学习函数概念时，往往只注意函数的表达式而忽视函数的定义域，这表明学生在理解概念时割裂了概念本质属性的诸方面，这时可举反例“y=x与y=2xx是同一个函数吗？”另外，学生在概念学习中，往往在概念定义的搭词上发生错误，如“三点确定一个平面”、“两条没有公共点的直线是平行线”等，这些问题发生的原因不仅是由于学生的粗心，主要还是因为学生没有把注意指向概念本质属性诸方面之间的关系，没有把这种关系当成关键特征来认识，举反例可以促使学生增强对这种关系的重要性的认识。同时，通过揭示数学自身的矛盾来引入新概念，以突出引进新概念的必要性和合理性，从而调动了解新概念的强烈动机和愿望。应该注意的是，反例的运用是有时机的，一般来说，我们不能在学生刚刚接触概念时就运用反例，否则将有可能使错误概念先入为主，对概念的理解产生干扰。反例是在学生对概念有了一定理解侧棱垂直底面侧棱垂直地面底面是平行四边形底面是平行四边形底面是矩形底面是正方形棱长相等四棱柱直四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体4的基础上才能使用的。5．用手摆弄和操作实物或模型比只凭空想象更易或得概念。数学概念的形成过程包括对感性材料的认识，概念的定义是在概念形成的过程中逐步明朗化的。为此，就要重视概念在现实世界中的模型。其中，通过动手操作可达到认识、理解、应用和分析的认知目的，也可达到满足的情感目的。例如研究“异面直线概念”时，可先用两条细竿a和b放在平面M内，回忆在同一平面内直线的位置关系（图一）；然后，演示不重合的两直线既不平行有不相交，即不可能在同一平面内的情况（图二），同时可举出“不在同一平面内的两直线”的实例，进而得出“异面直线”的概念。又比如，学习“数轴”的概念。如联系实际模型：温度计上的点表示温度，又注意到温度计都有三要素：度量起点、度量单位和方向，这就很自然地形成了“数轴”的概念。通过上述例子看出，由具体的模型和实物过渡到抽象图，由感性上升到理性，最终得到概念的过程，能使概念学习获得较好的效果。6.重视用语言表达概念的意义，能促进概念的正确使用。语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响到逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生深刻理解概念的一种标志。当一个概念（或定理）用符号提出时，它是很容易记住和使用的，但它也会引起一个问题，就是不能明显地看出运用它的条件。例如“勾股定理”的符号表示：a2+b2=c2，它没有说明运用这个定理的条件，而用语言描述：对于一个直角三角形，斜边的平方等于其它两边的平方和，却详细地说明了这个定理是应用与直角三角形的。有一些学生会认为在学习概念时记忆符号比记忆语言要容易一些，但这些学生就会发现他们只会把新概念孤立地使用，时间一长会忘掉已经记忆的大部分内容，而把新知识与以前记忆的数学结构混淆起来。例如在学习“绝对值”知识时，有的初学者在运用公式：aa0aaa0解决问题时，只会解决具体的数的化简，而对教抽象的字母问题则常会犯这样的错误：∣a-1∣=a-1。为什么呢？就是因为（图二）abM（图一）abMbMabMa5这种学生只限于记住其符号形式。如果他理解其含义：一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0”，那么他就知道先判断a-1的符号，然后分a-1≥0和a-10两种情况。当a-10时，a-1的绝对值是它本身a-1;当a-1=0时，a-1的绝对值是0；当a-1〈0时，a-1的绝对值是它相反数：-（a-1）=-a+1=1-a。通过此例，可看出：当一个学生善于将概念用语言准确的表达出来，那么他肯定会理解这个概念的意义，这样会促进他今后对这一概念的正确使用。7．注重概念的发生过程，能较快地理解概念。概念在其形成的过程中逐渐明朗化。任何一个概念的产生都有它的实际过程，在概念的形成过程中，认识它的必要性和合理性，可以达到理解概念训练思维的目的。数学概念的形成过程包括：概念引入的必要性以及对有关感性材料的认识、分析、抽象和概括。注重概念的形成，有利于学生掌握概念的实际内容，搞清概念的来源，这不仅能使学生一接触到新概念便对它产生浓厚的兴趣，而且还能比较容易接受并理解概念。例如：“零指数幂”的概念学习，根据旧知识1aa44及nmnmaaa，得到044aaa。显然只有规定a0=1（a≠0），然后验证零指数对于正整数指数幂的法则也都适合。这样得到“零指数幂”的概念，能加深学生概念的理解程度，同时也较容易接受。又比如，在引进复数概念时，可从数的概念的扩展讲起，然后说明数集虽已扩展到实数集，但对于x2=–１这样简单的方程，在实数集内仍无解。为了使这样一类方程有解，还必须引入新的数集，从而很自然地引入复数集概念。这样教授新课，虽然花费的时间较多，但重视了知识的发生过程，有利于学生掌握实际内容，搞清每一个概念是从什么问题提出来的，又是为解决什么问题的，这就为进一步理解概念奠定了厚实的思想基础。8．“数形结合”有助于概念的获得。“形”是数学研究的对象之一。数形结合进行概念的直观性教学是数学教学的一大明显特征。观察函数的图形可以得出函数的单调性、增减性、奇偶性、周期性等定义，观察空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系可以得出异面直线，直线与平面平行、相交、垂直，平面与平面平行、相交和垂直的概念等。通常形象思维较抽象思维更容易为学生所接受。在学习概念时，如果能善用图形，则概念学习的效率会大大提高。这是因为图形能起到文字所不能起到的作用：化繁为简，化凌乱为有序，使纵横交错的关系脉络清晰。图形最好由学习者自己做，这样效果会更明显。例如，学习“指数函数”的有关概念时，性质很多。若死记硬背，则显然不行。因此，可利用函数图象来学习，先在同一坐标系内画出y=2x、y=10x与y=(1/2)x这三个具有典型意义的指数函数的图象（图1），然后根据图象，分析其特征，得到其性质，列出性质表（图2），这样便可帮助学习者巩固所学知识