8-利率期权定价

1在学习完本章后，你应该能够理解和掌握：债券期权的基本特征与常用定价方法可赎回债券与可回售债券的基本特征与常用定价方法利率顶与利率底的基本特征与定价公式利率互换期权的基本特征与定价公式利率期权定价的一般原理2在第三章中我们介绍了利率的远期、期货以及互换等简单利率衍生产品的定价；然而除了这些产品外，国际金融市场上还存在着大量的期权类利率衍生产品。在本章中，我们主要介绍市场常见的几种利率期权产品的基本特征与定价方法：债券期权、含权债、利率顶与利率底以及利率互换期权。在这一章中，你将会了解第七章中那些抽象的动态利率模型是如何运用的。债券是最基础的利率产品，相应地，债券期权也是最基础的利率期权产品。事实上，市场上常见的其他利率期权产品往往都与债券期权有关。例如可赎回和可回售债券实际上是普通的不含权债券内嵌了债券期权，利率顶和利率底也可以转换成零息债期权的组合。因此，我们首先介绍债券期权的基本特征和定价方法。在第七章中，我们已经介绍了不同动态利率模型下零息债期权价格的解析解。在这一节里，我们将其拓展到附息债期权的分析。一、债券期权的基本特征在第一章的第三节中，我们已经介绍了债券期权的基本含义，这里我们仅给出欧式债券看涨期权到期回报的公式为其中为期权执行价格，则为期权到期时刻的标的债券价格，注意该债券的到期日为且，也就是说，期权到期时刻标的债券仍存续。相应的欧式看跌期权的到期回报公式为由于债券价格与利率呈确定的反向变动函数关系，因此债券的看涨期权等价于利率的看跌期权，其多头实际上是规避了利率下跌的风险；反之债券的看跌期权等价于利率的看涨期权，其多头规避了利率上涨的风险。二、债券期权的定价从期权回报可以看出，债券期权定价的关键在于对标的债券价格的变动进行建模。由于债券价格与利率存在确定的函数关系，因此也可以运用第七章中的方法对利率建模，再为债券期权定价。由此产生了债券期权定价的两种思路：第一种思路直接基于债券价格建模，将股票期权的定价方法应用于债券期权定价，主要的代表性模型是模型（）。模型的最大好处就在于其简便性，可以直接利用形式简单的定价公式得到欧式期权价格的解析解，因而模型成为欧式债券期权定价的标准模型。但由于假设条件的限制，模型在应用上仍具有局限性。第二种思路则是基于利率建模，利用动态利率模型为债券期权定价。在这种思路下又可分为解析解和数值解两种方法。解析解定价主要应用于特定模型下的欧式债券期权定价，在1在交易所市场（例如CME）中，大部分的债券期权实际上是以债券期货为期权的标的资产，但其基本原理是一样的。3这些模型下存在欧式零息债期权的解析解。这样，将附息债期权分解为零息债期权的组合，就可以得到附息债期权的解析解。数值法定价的应用则更为广泛，可以应用于由于产品本身或利率模型设定过于复杂而造成的不存在解析解的情况。在固定收益证券领域，最常用的数值方法就是第七章介绍的树图法。在本节里，我们将主要介绍第一种思路下的模型和第二种思路下的解析解方法。在第二节介绍含权债时，我们再讨论树图方法的运用，其基本原理都是一样的。（一）模型模型是由于年提出的。这个模型最早提出时是为欧式期货期权定价，后来人们发现可以将其拓展至更广的领域，欧式债券期权定价就是其中之一。在这里，我们直接介绍该模型在欧式债券期权定价中的应用结论，对原文有兴趣的读者可参考。模型对欧式债券期权定价的基本思路是，假设标的债券价格在期权到期时刻服从对数正态分布，则该债券欧式期权的定价公式为其中这里，和分别为欧式看涨期权和欧式看跌期权在时刻的价值，为执行价格，N为标准正态分布的累积概率分布函数，期权和标的债券的到期时刻分别为和，为至期间标的债券价格对数的波动率，为时刻标的债券的远期价格，远期到期时刻为。根据第三章中的债券远期定价原理，的定价公式为**,,,,PtTIFtTTBtT其中*,PtT为标的债券在时刻的价格，I为标的债券在期权的存续期间（从至）所支付息票的现值。值得强调的是，距离债券到期时刻越近，债券价格的波动越小。因此公式中的波动率实际上只是确定了债券价格的对数在Tt期间的标准差为,PtTTt，并不一定意味着此期间任意瞬间的波动率为。4我们可以看到，用模型对债券期权进行定价，其形式与标的资产为支付红利的股票的期权价格非常相似。应该注意的是，如果标的债券在时刻不服从对数正态分布，那么公式就不能使用。另外，对于美式期权，由于没有利率动态过程的信息，模型也不适用。（二）模型由于附息债可以视为零息债的组合，模型的基本思路是将附息债期权表示为零息债期权的组合，再应用我们在第七章中得到的或等单因子模型下的零息债期权价格的解析解，得到附息债期权价格的解析解。首先，在单因子模型的假设下，瞬时利率发生变动时，整条利率期限结构将发生相应变动，且长短期利率的变动方向将是一致的。给定某个单因子模型，记为jModel，在该模型下，任意到期期限的零息债价格都可以写成当前瞬时利率的函数,;jBtModelrt其中;jModelrt中的表示其他参数，为时刻的零息债价格的一般表达形式，其中“”表示债券到期时刻，则是时刻的瞬时利率。虽然这个函数的形式可能根据模型选择不同而变化，但该函数必定关于瞬时利率单调递减。其次，由于附息债的价格可以表示为零息债价格之和，即1,,NNiiiiPtTcBtT其中为附息债每次现金流入的时刻，为每次对应的现金流，是附息债到期时刻，而加和并不改变函数的单调性，因此附息债价格也可以写成当前瞬时利率的单调递减函数，即1,NjNiiiPtTcModelrt这样，在期权到期的时刻，欧式附息债看涨期权的回报可以写成1max,,0max,0NjNiiiPTTXcModelrTX由于附息债价格是瞬时利率的单调函数，因此必然存在一个瞬时利率Xr，使得1NjiiXiXcModelr这样，我们实际上是把执行价格X表示成标的债券在时刻与瞬时利率Xr对应的价格。因此，式可以写成11max,,0max,0NNjjNiiiiXiiPTTXcModelrTcModelr1为书写方便，以下都略去其他参数。5值得注意的是，在式中，瞬时利率rT是影响附息债及其包含的零息债的唯一随机因素。因此只要XrTr，则对于任意现金流时刻，都有jjiiXModelrTModelr，而对于整个附息债，我们也有11NNjjiiiiXiicModelrTcModelr；反之亦然。因此，式又可以写为111max,,0max,0max,0max,,0NjjNiiiXiNjjiiiXiNiiiiPTTXcModelrTModelrcModelrTModelrcBTTX其中，jiiXXModelr。观察等式，我们实际上已经将附息债期权的回报转换成一系列零息债期权回报的组合。这样，运用第七章中介绍的特定单因子模型下的零息债欧式期权定价公式，我们就可以很快写出附息债欧式期权定价的解析解。6在本节中，我们将介绍市场上常见的两类含权债可赎回债券与可回售债券的基本特征，并以市场上的真实案例帮助读者了解中国含权债的一些基本情况。之后，我们将以可赎回债为例介绍如何用模型为含权债定价。一、可赎回债与可回售债的基本特征可赎回债是在普通债券的基础上附加了赎回条款，规定债券的发行人有权在债券到期前以事先约定的价格将债券买回；可回售债中内嵌的条款则规定了债券的持有者有权在到期前按照约定的价格将债券卖还给发行者。若在约定的行权期间未行权，则这些债券都与普通不含权债券一样按合同约定还本付息。我们首先来分析可赎回债的基本特征。假设当前时刻为t，可赎回的时刻为T，债券到期日为*T，约定的赎回价为。在可赎回时刻T，债券发行者的回报可以表达为***max,,,max,,0PTTXPTTPTTX式的左边表示发行者有权选择较低的负债水平，右边则表示对于债券发行者而言，发行一份可赎回债，等价于发行一份普通的不含权债券，并持有一份以该债券为标的资产、以赎回价为执行价格、时刻到期的看涨期权多头。基于债券价格与到期收益率之间的反向函数关系，也可以看作发行者持有一份利率的看跌期权多头。利率下跌时，发行者便可借新债还旧债，将旧债提前赎回，降低利息负担；利率上升时发行者可以弃权。可赎回债的投资者则刚好与之相反，等于持有一份普通不含权债券，并拥有该债券看涨期权（或利率看跌期权）的空头。类似地，在可回售时刻，可回售债投资者的回报为***max,,,max,,0PTTXPTTXPTT也就是说，可回售债赋予了投资者选择较高资产价值的权利，从而使得对于投资者来说，投资一份可回售债，等价于拥有一份普通的不含权债券，并持有一份以该债券为标的资产、以回售价为执行价格、时刻到期的看跌期权多头，相应地就是利率看涨期权的多头。利率上升时，持有者有权提前回售债券，再将拿回的资金进行再投资，获取更高的收益；利率下跌时则可弃权。反之，可回售债的发行者则等于发行一份普通的不含权债券，并拥有该债券看跌期权（或利率看涨期权）的空头。当然，由于获得期权多头需要支付期权费，因此可赎回债的价格通常低于同等条件的不含权债券的价格，而可回售债的价格则通常高于同等条件的不含权债券的价格。换个角度说，可赎回债的到期收益率通常高于同等条件的不含权债券的到期收益率，而可回售债的到期收益率则通常低于同等条件的不含权债券的到期收益率。二、中国市场上的含权债案例表展示了国家开发银行在年发行的一只可回售债的具体条款。表可回售债国开基本条款债券名称国家开发银行2008年第二十三期金债券简称08国开237融债券发行人国家开发银行股份有限公司上市市场银行间债券债券类型金融债上市日期2008-12-19期限(年)3+7发行价格(元)100.00债券面值100.00发行规模(亿元)300.00票面利率(%)2.1000息票品种附息利率类型累进利率年付息次数每年付息1次利率说明20081215-20111214,票面利率为2.1%;20111215-20181214,票面利率为3.6%付息日说明每年12月15日付息,节假日顺延内含特殊条款回售条款特殊条款说明回售条款:投资人可选择在2011年12月15日向发行人全部或部分回售该债券(回售价格为100元/百元面值)或继续持有该债券至2018年12月15日。起息日期2008-12-15到期日期2018-12-15摘牌日期2018-12-12数据来源：资讯如表８.1所示，该债券由国家开发银行股份有限公司发行，是一只10年期固定利率（息票率调整一次）的可回售债券。这支可回售债券的起息日为2008年12月15日，到期日为2018年12月15日，面值为100元。其中前3年的票面利率为2.1%，后7年的票面利率为3.6%，每年付息一次。其可回售条款表明，发行3年后，即2011年12月15日，债券持有人有权利按面值100元将该债券回售给债券发行人，即国家开发银行。显然后7年票面利率的上升有助于降低3年后债券持有人回售债券的可能性。在不考虑其他交易成本的条件下，只有当3年后的同信用等级和流动状况的7年期投资回报率超过3.6%时，债券持有者提前回售才是有利的选择，因为其可以将回售收回的资金以较高的利率进行再投资；反之，就不应该执行回售期权，债券持有者出售债券或继续持有债券都比行使回售权要更为有利。在国际金融市场上，为了增加债券对投资者的吸引力、满足市场交易制度安排，或是因应发行者的某