从泛函分析角度解释几种教学现象

从泛函分析角度解释几种教学现象张明（温州市瓯海区三溪中学325016）柏拉图主义经历古典、近代、现代三个阶段。其中与本论文有关的观点有：古典柏拉图主义其要点是关于“数学理念世界”的学说，此理念世界应包含一切理想的数学概念以及由概念衍生连系而成的数学命题、公式及有关问题的数学解答，等等；新柏拉图主义与经典柏拉图主义一样，理念世界与感性世界无关，认为一切理想化的数学概念来自“数学天国”（理念世界），人们是要靠先天赋与的“直觉（悟性）”才能去发现天国里的理想事物；“数学理念世界”是一个疆域固定不变的先验地存在的“世界”。假定在一定条件下这种数学哲学是正确的。把理念世界看成空间，其中数学命题、公式及有关问题的数学解答看成空间中的一个点。点与点之间的距离定义为两个数学命题之间，或两个公式之间，或两个有关问题的数学解答之间，或数学命题、公式之间，或数学命题、数学解答之间，或公式、数学解答之间的一种逻辑推理。1．理念世界是一个完备、可分的度量空间。完备性指对于理念世界中的柯西点列都有极限，即柯西点列最终导出理念世界中的一个数学命题、或公式、或数学解答，故对于理念世界中的任何一个数学命题、公式、数学解答，记住a,总存在一个数列,,nnanNa是一个数学命题、或一个公式、或一个数学解答，使limnnaa，也就是说理念世界中的任何一个数学命题、公式、数学解答都是可以证明出来或解出来。这里包括了有限步推理，这时数列是有限数列；和无限步推理，这时数列是无穷数列。当是有限步推理时，我们可以把数列写成12,,,,,,naaaaa。可分性是因人认识世界从有限到无限，所以理念世界中存在可列的稠密子集。对于个体，大脑中的各种知识是其理念世界的子空间。2．优秀生的子空间是一个完备、可分的最大空间。这里假定优秀生能解决他这个年龄所遇到的所有数学问题，所以优秀生的子空间是一个完备、可分的。设A、B是度量空间，若,AB称B空间比A空间大，或A空间比B空间小，空间越大，解决的问题越多，所以优秀生的子空间是最大的。3．数学困难生的子空间或不完备或离散。如果完备、可分则空间太小，一些问题不能解决。4．假定学生的子空间是完备、可分的子空间。设有n个学生，具有完备、可分的空间为1A、2A、、nA。①.,1,.ijAAijn则第i个学生的数学能力弱于第j个学生的数学能力。②．,1,,ijAAijn则两个学生的数学能力大致相同，可能的区别是存在的可列的稠密子集不同，即学生思考的角度、出发点不同。所以作为老师要因材施教，找到每个学生的可列稠密子集。③．,1,.ijAAijn这种情况不太可能出现。因为学生学习的是同一本书，有可能呆在同一个学校，同一个老师执教。参考文献：1．徐利治.数学中的现代柏拉图主义与有关问题.数学教育学报，2004，3.