信号与系统课后习题答案—第1章

第1章习题答案1－1题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解：①连续信号：图（a）、（c）、（d）；②离散信号：图（b）；③周期信号：图（d）；④非周期信号：图（a）、（b）、（c）；⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。1－2已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。解：设T为此系统的运算子，由已知条件可知：y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。①线性1）可加性不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而|f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。2）齐次性由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t)（其中a为任一常数）即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。②时不变特性由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|，即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。1－3判定下列方程所表示系统的性质：)()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()()(2''''''''0tftytydtftyttytyctftftytytybdxxfdttdftyat解：（a）①线性1）可加性由tdxxfdttdfty0)()()(可得tttytfdxxfdttdftytytfdxxfdttdfty01122011111)()()()()()()()()()(即即则tttdxxfxftftfdtddxxfdttdfdxxfdttdftyty0212102201121)]()([)]()([)()()()()()(即在)()()()()()()()(21212211tytytftftytftytf＋＋前提下，有、，因此系统具备可加性。2）齐次性由)()(tytf即tdxxfdttdfty0)()()(，设a为任一常数，可得)(])()([)()()]([)]([000taydxxfdttdfadxxfadttdfadxxaftafdtdttt即)()(taytaf，因此，此系统亦具备齐次性。由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。②时不变性)()(tytf具体表现为：tdxxfdttdfty0)()()(将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0的常数），即tdxtxfdtttdftty0000)()()(设0tx，则ddx，因此00)()()(00tttdfdtttdftty也可写成00)()()(00tttdxxfdtttdftty，只有f(t)在t=0时接入系统，才存在)()(00ttyttf，当f(t)在t≠0时接入系统，不存在)()(00ttyttf，因此，此系统为一时变系统。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。（b）①线性1）可加性在由)2()()(3)(2)(''''tftftytyty规定的)()(tytf对应关系的前提下，可得)]2()2([)]()([)]()([3)]()([2)]()([)2()()(3)(2)()2()()(3)(2)(21'2121'21''212'22'2''21'11'1''1tftftftftytytytytytytftftytytytftftytyty即由)()()()()()()()(21212211tytytftftytftytf＋＋可推出，系统满足可加性。2）齐次性由)()(tytf，即)2()()(3)(2)(''''tftftytyty，两边同时乘以常数a，有)]2([)]([)]([3)]([2)]([)]2()([)](3)(2)([''''''''taftaftaytaytaytftfatytytya即)()(taytaf，因此，系统具备齐次性。由1）、2）可判定此系统为一线性系统。②时不变性分别将)()(00ttftty和（t0为大于0的常数）代入方程)2()()(3)(2)(''''tftftytyty左右两边，则左边＝)(3)(2)(00202ttydtttdydtttyd)(3)()(2)]()([)()2()(00000000ttyttyttddttyttddttddttfdtttdf右边＝而，)()()(000ttydtdttyttdd)()]()([)(022000ttydtdttyttddttdd所以，右边＝)(3)(2)(00202ttydtttdydtttyd＝左边，故系统具备时不变特性。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。（c）①线性1）可加性在由式)(3)(2)(2)('''tftyttyty规定的)()(tytf对应关系的前提下，可得)]()([3)]()([2)]()([2)]()([)(3)(3)(2)(2)(2)(2)()()(3)(2)(2)()(3)(2)(2)(2121'21''212121'2'1''2''122'2''211'1''1tftftytytytyttytytftftytyttyttytytytftyttytytftyttyty＋＋＋＋＋＋两式相加即在)()()()(2211tytftytf、的前提下，有式)()()()(2121tytytftf存在，即系统满足可加性。2）齐次性由)()(tytf，即)(3)(2)(2)('''tftyttyty，两边同时乘以常数a，有)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''taftaytayttaytaftaytatytay，即有)()(taytaf，因此，系统具备齐次性。依据上述1）、2），此系统为一线性系统。②时不变性分别将)()(00ttftty和（t0为大于0的常数）代入方程)(3)(2)(2)('''tftyttyty左右两边，则)(2)(2)(00022ttyttydtdtttydtd左边＝右边＝右边＝)(2)()(2)()(2)()()(2)()()(3000022000002020ttyttydtdttttydtdttyttyttddttttyttddttf因此，系统是时变的。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。（d）①线性1）可加性在由式)()()]([2'tftyty规定的)()(tytf对应关系的前提下，可得)()()()()]([)]([)()()]([)()()]([21212'22'1222'2112'1tftftytytytytftytytftyty两式相加而不是：)]()([)]()([})]'()({[2121221tftftytytyty即在)()()()(2211tytftytf、的前提下，并不存在)()()()(2121tytytftf因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略）2）齐次性由)()(tytf，即)()()]([2'tftyty，两边同时乘以常数a，有)()()]([2'taftaytya，即式)]([)]([})]({[2'taftaytay不成立，不存在)()(taytaf因此，系统也不具备齐次性。单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。②时不变性分别将)()(00ttftty和（t0为大于0的常数）代入方程)()()]([2'tftyty左右两边，则)()]([020ttyttydtd左边＝右边＝右边＝)(])([)(])()([)(02002000ttydtttdyttyttdttdyttf即以式)()()]([2'tftyty规定的)()(tytf关系为前提，存在)()(00ttyttf因此，系统是非时变的。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。1－4试证明方程)()()('tftayty所描述的系统为线性系统。[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。]证明：1）证明齐次性满足齐次性即即两边同乘任意常数)()()()]([)]([)()]()([)()()('''tbytbftbftbyatbytbftaytybtftaytyb2）证明可加性满足可加性即即相加)()()()()()()]()([)]()([)()()()()()()()()()()()()()()(21212121'21212'21'122'211'1'tytytftftftftytyatytytftftaytytaytytftaytytftaytytftayty由以上1）、2），可知系统是线性的。1－5试证明题1－4的系统满足时不变性。[提示：将方程中的t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。]证明：分别将)()(00ttftty和（t0为大于0的常数）代入方程)()()('tftayty左右两边，则)()(00ttayttydtd左边＝右边＝右边＝)()()()()()(000000ttaydtttdyttayttdttdyttf即以式)()()('tftayty规定的)()(tytf关系为前提，存在)()(00ttyttf因此，系统满足时不变性。1－6试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。]证明：设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为)()(tytf，则（时不变性）)()(ttyttf由线性可加性可得)()()()(ttytyttftf因此tttytytttftf)()()()(所以tttytytttftftt)()()()(limlim00即)()(''tytf线性时不变系统具有微分特性。1－7若有线性时不变系统的方程为)()()('tftayty，若在非零f(t)作用下其响应tety1)(，试求方程)()(2)()(''tftftayty的响应。解：已知tetytf1)()(，由线性关系的齐次性特性，有tteetytf22)1(2)(2)(2又由线性系统的微分特性，有tteetytf''')1()()(再由线性关系的可加性特性，可得ttteeetytftf222)