信号分析与处理第十二次课

授课内容5.2随机信号的统计特性虽然随机信号不能用数学关系式来描述，也无法预测其变化规律，但是却具有一定的统计规律。本节的主要目的就是建立随机信号的统计参数，然后根据它们来计算系统输入响应的某些统计特性。5.2.1均值、均方值与方差xT0TdttxT1tx)(lim)(图（5-2）T02T2dttxT1tx)(lim)(即对于具有平稳遍历性的随机过程而言，随机信号的均方值可用样本函数平方值的时间平均来计算。均方值不仅表示了信号波动幅度的大小，而且也表示了信号能量的强弱。当然也可以采用诸如)(tx3、)(tx4、等平均值作为变量。但丛数学处理角度看，则以)(tx2是为简单实用，因此在大多数场合中是应用)(tx2。T02T2xdttxtxT1)]()([lim方差2x的正方根就是标准偏差x，即x2x2x2x2x当均值为零时(0x)，则2x2x)()(tkxtx,)(tx2)(tkx2,2x1N0k2Ntkx1N1)(lim式中N-采样点的数目，t-采样间隔，1N210k,,,,为整数。式中的分母N-1（而不是N）是2x的无偏估计所要求的。当随机信号分析中所用的N值很大（100或更大时），其影响很小。采样间隔t一般是常值，t的数值取决于信号频率的成分，频率越高，则要求t越小，至少要满足采样定理要求的时间间隔。由于)(tx2的量纲与)(tx不一致，故作为幅值的度量有时希望使用均方根（RMS）值（又称有效值）：xX2rms上述统计参数都是在幅值域中的特性，没有时间或频率的概念，故不能从中获得关于变化速度或某一幅值出现的频繁程度的信息。5.2.2概率密度函数图（5-3）TtXXPXXXXPkT111lim),()]([XTtxpkT0Xlimlim)(NnX1xpk)(5.2.3相关函数5.2.3.1自相关函数)(Rx)](),([)()(lim)(tXtXEdttxtxT1RT0Tx)(x=)()(0RRXx=2xxR)(即11x。自相关函数还包含频率信息，能描述随机过程的变化速率，图（5-6）给出了两个不同的随机信号，它们可能都是高斯分布，具有相同的值，但两个信号的变化快慢不同，变化速率大的随机信号，其)(Rx的图形比较突出；而变化较慢的随机信号其)(Rx的图形比较平坦。综上所述，自相关函数主要性质可归纳为以下几点（1）当=0时，)(0Rx=2x自相关函数表示信号的均方根；（2）自相关函数为偶函数，即)(Rx=)(Rx；（3）自相关函数在=0时，的初始值取最大值，即)(0Rx)(Rx（4）若信号是随机的，其均值为零，则随着时延的增大，自相关函数很快收敛并趋于零，即0Rx)(（5）当信号为周期函数时，自相关函数也是周期函数，其周期与周期信号相同。但信号不同；（6）如果随机信号)(tx是由噪声)(tn和完全独立的信号)(ty组成，则)(tx的自相关函数是由两部分的自相关函数的和所组成，即)(Rx=)(Ry+)(Rn如果样本记录用计算机处理，这可按下式进行自相关函数的计算。xxrN1trR1n1rN0nnr)()(,,,,Nmm321n式中1rN10xxx,,,为样本数据的N个数据点；t为采样时间间隔；r．为延时数。随着时延数的增大,)(trRr所依据的数据点越来越少，从而使它在统计上变得不可靠，因此，r的最大值必须比N小1~2个数量级。在震动领域中，如果所测数据的频率在0~500Hz范围内则可以采用t=0.0001（s），N=10000以及m=1000，并可以在0~0.1(s)的区间内计算1001个)(trRr的数据点。5.2.3.2互相关函数)(Rxy)]()([)()(lim)(tytxEdttytxT1RT0Txy)]()([)()(0R0RRyx21xyxy成为互相关系数，对于所有的,)(xy满足11xy)(。图（5-8）互相关函数有如下一些重要的应用：（1）.噪声中信号的检测与回收；自相关函数不能从外界噪声中分离出随机信号，而互相关函数是可以的，因为，互相关函数提供的输出信号的信噪比要比自相关函数数据提供的信噪比大的多；（2）.滞后时间的测量。互相关函数能确定信号通过一定系统所需要的时间。互相关函数最大值偏离坐标中心位置的时间坐标的移动值0就是信号通过系统所需要的时间，因此，系统的时间滞后值可直接由系统的输出——输入互相关函数图中的位置来确定。（3）.传递通道的确定。互相关函数即确定滞后的时间值，则由此可以直接用来确定传递通道。如果研究的是一个线性系统，其输入经过两个或几个不同的通道产生一个输出，假定要研究输入通过的具体通道。例如，办公室附近重型机械的运转，常常会引起不需要的噪声与振动，其能量可由几个通道通过建筑物结构传递，声音通过空气传递，在有效地控制噪声与振动之间，必须建立精确的传递通道。相关技术在工程应用中具有重要意义，应用相关理论构成的测速、定位、检漏、滤波等装置已经获得广泛应用，这里不能一一介绍。要点及习题要点：均值、均方差与方差、概率密度函数、自相关函数)(Rx、互相关函数习题：1、叙述噪声传递通道的确定过程。2、求正弦信号的概率密度函数。