信号时域的频率和信号频率的带宽的研究

信号时域的频率和信号频域的带宽的研究一，课题目标弄清信号带宽的含义；研究信号时域到频率的变换原理；研究信号频率和带宽的关系。二，基本原理1.一般周期信号的傅立叶变换对于一般周期信号，我们可以采用下面得方法求它得傅立叶变换：周期信号的频谱有以下特点：1.由一些冲激组成离散频谱。2.位于信号的谐频处。3.大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值。2.周期信号的傅立叶变换存在条件尽管周期信号不满足绝对可积条件，但是引入冲激信号后，冲激信号的积分是有意义的。因此，在这个意义上，周期信号的傅立叶变换是存在的。周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。3.正弦、余弦信号的傅立叶变换我们先研究最常见的周期信号——正弦和余弦信号的傅立叶变换。可以通过傅立叶变换的频移特性来得到正弦和余弦信号的傅立叶变换。它们的频谱如下所示我们还可以利用极限的方法来求正弦、余弦信号的傅立叶变换。将有限长余弦信号看成矩形G(t)乘。对有限长余弦信号求极限，即可得到无限长余弦信号。其推导如下：通过取极限，从有限长余弦信号得到余弦信号的时域和频域变换过程如下：带宽是信号频谱的宽度，也就是信号的最高频率分量与最低频率分量之差，譬如，一个由数个正弦波叠加成的方波信号，其最低频率分量是其基频，假定为f=2kHz，其最高频率分量是其7次谐波频率，即7f=7×2=14kHz，因此该信号带宽为7f-f=14-2=12kHz。信道带宽则限定了允许通过该信道的信号下限频率和上限频率，也就是限定了一个频率通带。比如一个信道允许的通带为1.5kHz至15kHz，其带宽为13.5kHz，上面这个方波信号的所有频率成分当然能从该信道通过，如果不考虑衰减、时延以及噪声等因素，通过此信道的该信号会毫不失真。然而，如果一个基频为1kHz的方波，通过该信道肯定失真会很严重；方波信号若基频为2kHz，但最高谐波频率为18kHz，带宽超出了信道带宽，其高次谐波会被信道滤除，通过该信道接收到的方波没有发送的质量好；那么，如果方波信号基频为500Hz，最高频率分量是11次谐波的频率为5.5kHz，其带宽只需要5kHz，远小于信道带宽，是否就能很好地通过该信道呢？其实，该信号在信道上传输时，基频被滤掉了，仅各次谐波能够通过，信号波形一定是不堪入目的。通过上面的分析并进一步推论，可以得到这样一些结果：（1）如果信号与信道带宽相同且频率范围一致，信号能不损失频率成分地通过信道；（2）如果带宽相同但频率范围不一致时，该信号的频率分量肯定不能完全通过该信道（可以考虑通过频谱搬移也就是调制来实现）；（3）如果带宽不同而且是信号带宽小于信道带宽，但信号的所有频率分量包含在信道的通带范围内，信号能不损失频率成分地通过；（4）如果带宽不同而且是信号带宽大于信道带宽，但包含信号大部分能量的主要频率分量包含在信道的通带范围内，通过信道的信号会损失部分频率成分，但仍可能被识别，正如数字信号的基带传输和语音信号在电话信道传输那样；（5）如果带宽不同而且是信号带宽大于信道带宽，且包含信号相当多能量的频率分量不在信道的通带范围内，这些信号频率成分将被滤除，信号失真甚至严重畸变；（6）不管带宽是否相同，如果信号的所有频率分量都不在信道的通带范围内，信号无法通过；（7）不管带宽是否相同，如果信号频谱与信道通带交错，且只有部分频率分量通过，信号失真。另外，我们在分析在信道上传输的信号时，不能总是认为其带宽一定占满整个信道，比如频带传输；即使信号占据整个信道，也不一定总是把它想像成一个方波，它也可能是其它的波形，比如在一个单频的正弦波上寄载其它模拟信号或数字信号而形成的复合波形。我们再举一些实例，进一步明晰信号与信道的带宽问题。