第一节数学期望-仲恺农业工程学院

概率与统计课程教案授课题目（教学章、节或主题）：第四章第一节数学期望教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：理解随机变量的数学期望的概念和性质，并会根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望，掌握常用分布的数学期望教学重点及难点：根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望课时安排：3课时授课方式：讲授教学基本内容：离散型随机变量的数学期望例1某年级有50名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，16岁的有46人，则该年级学生的平均年龄为16.2504616502185021750)4661218217(事实上我们在计算中是用频率为权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下：定义1设离散型随机变量X的分布律为P(Xk=xk)=pk(k=1，2，…),若级数1kkkpx绝对收敛，则称其为随机变量X的数学期望(Mathematicalexpectation)或均值(Average)．记为1)(kkkpxXE．若级数1kkkpx发散，则称随机变量X的数学期望不存在．例2一批产品有一二三等品及废品4种，所占比例分别为%10%,10%,20%,60，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价．Solution设X为任取一只产品的出厂价,X的分布律为:X64.840p0.60.20.10.1平均出厂价为96.41.001.042.08.46.06)(XE(元)例3设随机变量X服从参数为的泊松分布，求它的数学期望．Solution由于ekkXPpkk!}{，k=1,2,…因而eekeekekkkpXEkkkkkkkk11111)!1()!1(!)(2.连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X的分布密度函数为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称其为X的数学期望或均值．记为)(XE，dxxxfXE)()(．若积分dxxxfXE|)(|)(发散，则称随机变量X的数学期望不存在．例3设随机变量X服从参数为(0)的指数分布，求)(XE．Solution由于指数分布的密度函数为0,00,1)(xxxexf因而.01)()(0/0/0/0/0xxxxedxeexdxxedxxxfXE例4设随机变量X服从),(ba上的均匀分布，求)(XE．Solution由于均匀分布的密度函数为其他,0,1)(bxaabxf因而2)(2)()(22baababdxabxdxxxfXEbaba．例5设随机变量X服从柯西分布，其密度函数为)1(1)(2xxf)(x，由于积分)1(2xdxx发散，因而)(XE不存在．3.随机变量的函数的数学期望定理设Y为随机变量X的函数：)(XgY(g是连续函数)，(1)X是离散型随机变量，分布律为,2,1),(kxXPpkk；若级数1)(kkkpxg绝对收敛，则有)]([)(XgEYE1)(kkkpxg．(2)X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，若积分dxxfxg)()(绝对收敛，则有)]([)(XgEYEdxxfxg)()(．定理告诉我们：求)(YE时，不必知道Y的分布，而只需知道X的分布就可以了．例6随机变量X的分布律如下:X0123P21418181求)(),11(2XEXE．Solution966781311812114111121011)11(XE815813812411210)(22222XE4.数学期望的性质(1)设c是常数，则有ccE)(．(2)设X是随机变量，设c是常数，则有)()(XcEcXE．(3)设X，Y是随机变量，则有)()()(YEXEYXE．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况）参考书目：1．吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月。2．盛骤，谢式千等，概率论与数理统计（第三版），高等教育出版社，2003年2月。作业和思考题：作业：P222-5思考题：1、数学期望E(X)是随机变量吗？能将数学期望写成E(x)吗？答案不是．不成．E(X)是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写成E(x),因为x是普通变量，有E(x)=x．2、数学期望E(X)=kkkpx视为加权平均，那么它的权是什么？答案它的权是随机变量X取值xk的概率值pk．课后小结：