代数中的应用问题

1中考从2008年加入应用题，都是以社会热点为背景，涉及多个领域以及生活中的各个角落，考点为：一元一次方程、二元一次方程、分式方程。为了灵活应对今年中考中的应用题，在谢老师的指导下，我对代数中的应用问题做了一些简单的分析，下面我就想从四个角度分析：一、今年考纲对应用问题的要求：考纲要求：考试内容考试要求ABC方程知道方程是刻画现实世界数量关系的一个数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程一元一次方程会用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程组会运用二元一次方程组解决简单的实际问题分式方程会运用分式方程解决简单的实际问题一元二次方程会运用一元二次方程解决简单的实际问题解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义能根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式解决简单问题函数及其图象能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系能探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用函数加以表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析一次函数了解一次函数的意义能用一次函数解决实际问题反比例函数能用反比例函数的知识解决有关问题二次函数了解二次函数的意义能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能用二次函数解决简单的实际问题教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。二、课本上的应用题：我们现在用的“人教版”教材，已经很好地注意到了数学的应用性，在讲每一个知识点之前，都先结合现实应用提出问题，也就是先以应用问题开头提出问题，引出悬念，然后才讲新知识。其实这就给我们提供了训练解应用题能力的一个很好的机会。1．一元一次方程：232．二元一次方组：这虽然是一道较简单的应用题，一般学生很快就设出未知数列出方程，但这也是一个训练的机会，教材的编者抓住了学生的心理，当学生知道还可以列出和以前所学过的不一样的方程，而且更容易的时候，就更激发了他们学习这一章新知识的兴趣。453．分式方程：一元一次方程、二元一次方程、分式方程，常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，出题的背景广泛。4．一元二次方程：与数列有关的问题：解决这类问题常构造等差数列、等比数列，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。增长率与降低率的问题：可以直接利用公式65．一次函数：（方案选择，经常与不等式结合）76．二次函数：利润等最优化问题：三、这几年中考都考了些什么？现在课标对于学生学习知识的要求很高，但是更重要更突出的一点是：注重了对学生在学习过程中能力的培养，所得到的一些数学素质的培养更重要，这我们在讲课的时候，按8照教材，按照课标是努力贯彻了，但是在中考试卷中这个问题就更突出了。所以，我把这几年的中考中的应用题提取出来，看看咱们的中考已经考过一些什么，和将来可能会考一些什么？（一）北京市中考都考了些什么？中考题分析：1．（2008）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x千米．依题意，得3061(40)602xx．解得200x．答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．分析：应用题题目一般较长，学生的阅读能力有限。所以学生在对题目通读一遍之后，再逐字逐句阅读，把题目进行合理适当的分割，变成一个个小条件，小问题。从这些小条件小问题中寻找出已知量和未知量及这些量之间的关系。此题题目较长，涉及到的量也比较多。我可以通过分析高速列车往返的时间、速度、路程。利用图解、列表、框架等形式，把大问题分解成小问题，这样一个个量之间的关系就一目了然，复杂的问题就显得简单了。化整为零，化繁为简的教学思想可以在一定程度上化解应用题的难度，让学生容易分析问题并且乐于尝试去解决问题。2．（2011）京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米．依题意，得18318297xx．解得27x．经检验，27x是原方程的解，且符合题意．答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．分析：路程问题会涉及多方面的解题思路，其出题方法也可以与多种问题混合起来命题，相应会增加题目的难度。所以对于路程问题要找到各类运动的相同之处，明确运动的总体过程，了解什么时候相向运动，什么时候相遇，什么时候相背运动，什么时候又发生追击问题等等，只要过程明确，那么无论题目怎么变化，其本质仍然是路程问题，涉及的量就是常用的路程、速度、时间三个量之间的变化与联系，解题的总体思路仍然相同。如：本题就涉及到了同样的路程不同的方式上班，抓住路程不变，只是速度和时间上的改变，利用路程、速度、时间三个量之间的关系就可以列出方程。93．（2010）2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米．解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8)x亿立方米．依题意，得5.830.6xx．解得1.3x．5.85.81.34.5x．答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．解法二：设生产运营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米．依题意，得5.8,30.6.xyyx解这个方程组，得1.3,4.5.xy答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．4.（2009）北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？解法一：设轨道交通日均客运量为x万人次，则地面公交日均客运量为(469)x万人次．依题意，得(469)1696xx．解得353x．4694353691343x．答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．解法二：设轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次．依题意，得1696469.xyyx，解得3531343.xy，答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．分析：上述两道题设计两个等量关系，可以通过列方程或者方程组来解决，这类问题一定要关注“总和”，“比xxx几倍少/多”这种字眼。例如：（2009）既然求各为多少万人次，直接设两个元。然后利用一次总和，利用一次倍差关系，轻松列出两个方程构成方程组求解。10上述几道题的背景都是以北京时事为背景，今年我们身边的时事关注身边的时事：2011年11月2日公布。北京精神“爱国创新包容厚德”。★2012北京政府工作报告：坚决贯彻中央宏观调控政策，保持经济平稳较快发展坚持落实扩大内需的战略方针，努力挖掘内需增长潜力。进一步完善政策、优化环境，建立促进消费责任制，推动消费增长向多点支撑转变。任务大力践行“北京精神”，牢牢把握“稳中求进”的总基调，加快转变经济发展方式，全力推进科技创新和文化创新“双轮驱动”，稳增长、调结构、控物价、惠民生、抓改革、促和谐，以首都科学发展、社会和谐稳定的优异成绩迎接党的十八大胜利召开。主要工作扩大内需--充分发挥消费主导作用。结构调整--着力培育新的经济增长点，大力发展实体经济，加快推动首都经济走上高端引领、创新驱动、绿色发展的轨道。★北京市“十二五”时期住房保障规划尽管应用题灵活多变，但是，数学问题万变不离其宗，其本质还是非常相近的，只要把相近相似的同类问题总结归纳，逐一分析然后综合理解，那么学生就会掌握此类应用题的总体解题思路，在面对新题型时就会镇定自若，游刃有余。（二）2011年外省市的考了什么？1.（2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x税率速算扣除数月应纳税额x税率速算扣除数1x≤5005%0x≤15005%02500x≤200010%251500x≤450010%▲32000x≤500015%1254500x≤900020%▲45000x≤2000020%3759000x≤3500025%975520000x≤4000025%137535000x≤5500030%2725注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1500×10%+600×15%=265(元)方法二：用“月应纳税额×适用税率−速算扣除数”计算，即2600×15%−125=265(元)(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？【答案】11．解：(1)75，……………………(1分)525，………………………(3分)(2)设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x−375=1060，…………………(4分)解得x=7175．∴甲这个月的应纳税所得额是7175元．…………………………………(5分)若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175−1000)×20%−525=710元．…(6分)(3)设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x−375=25%(x−1000)−975，(8分)解得x=17000．……………………………………………………………………………(9分)∴乙今年3月所缴税款的具体数额为1700×20%−375=3025元．…………………(10分)2.（2011福建泉州）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，副市长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）试计算两种笔记本各买了多少本？（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？【答案】（1）解法一：设5元、8元的笔记本分别买x本，y本，依题意，得：13683008540yxyx，解得：1525yx.答：5元和8元笔记本分别买了25本和15本.解法二：设买x本5元的笔记本，则买（40－x）本8元笔记本，依意，得：13683004085xx，解得：x=25.答：略.（2）解法一：应找回的钱款为300－5×25－8×15=55≠68，故不能找回68元.解法二：设买m本5元的笔记本，则买m40