代数学(第8讲)

第八讲§1.9同态（续）复习有关内容：1，:ST，{(,)|()()}EabSSab，/{|}SSEaaS。则有，其中:/SSE是自然映射，而:/SET是单射。2，设(,,1)M是一幺半群，M上的一个同余（关系）是M中的一个等价关系，且满足//,,,aabbM，由////,aabbabab可推出。设是(,,1)M的一个同余关系，M关于的商集记为MM，即{}MaaM，其中,axxMxa。,abM，我们定义abab。则(,,1)M是一个幺半群。称(,,1)M为关于同余关系的商幺半群。如果G是一个群，是G上的同余关系，则(,,1)G是一个群。称(,,1)G为关于同余关系的商群。3，设G是一个群，K是G的一个子群，如果,kKgG，均有1gkgK，则称K为G的一个正规（不变）子群。4，设G是一个群，是G上的同余关系，那么，商群G中的恒等元1K是G的一个正规子群，并且,gGgKggK。反之，设K是G的一个正规子群，在G上定义关系如下：1(mod)abKabK。那么是G上的一个同余关系，并且,gGgKggK。二、幺半群和群的同态基本定理1、同态基本定理：设是幺半群M到M/的同态，那么（M）是M/的子幺半群；如果M是群，那么（M）是M/的子群。由确定的等价关系,(()()),ababEE是M的一个同余关系，且有唯一的MME到M/的同态，使得。这里是满同态，是单同态。当M和M/是群时，1/(1)IK是M的一个正规子群，MMK，:aaK，:()aKa。Proof：（1）设/:MM是半群同态，那么/1(1)()M，//,()abM，,abM，使得//(),()aabb。于是//()()abab()()abM。从而()M是/M的一个子幺半群。（2）如果M是一个群，由（1）知，()M是/M的一个子幺半群。()bM，,(),aMab使得所以111aaaa，从而11()()()()1aaaa，即11()()1baab，因此，b在/M中可逆，并且11()()baM。于是()M是/M的一个子群。（3）考虑M上的等价关系E。设1212,aabbEE，则有12()(),aa，12()()bb，从而11112222()()()()()()abababab。于是1122ababE，因此E是M上的同余关系，由第0.3节知（P11），存在唯一的导出映射/:MMME使得，这里:,(),()MMaaaM是自然映射，它是一个满映射，而是单映射。下证与都是同态。,abM，我们有()()()abababab，并且(1)1。所以是一个满同态。,abM，由于()()aa，()()bb，所以()()()()()()()ababababab，并且/1（）=（1）=1。所以是一个单同态。（4）当M和/M是群时，因为E是群M上的同余关系，由Th1.6（P44）知,同余类1K是M的正规子群，而a所在的同余类为aKaKa，显然1/(1)K，:aaK，:()aKa。2、设/:GG是群同态，显然()imGG是/G的子群。再令1/(1)K，不难验证，K是G的正规子群，称为的核，记为ker，即1/(1)KerK。不难验证是单射当且仅当{1}Ker。设L是群G的正规子群，且1(1)LK，那么我们可得到因子群,GGaLaLLaaGL，而映射:,(:),GGaaL是一个满同态。现在我们定义映射/:GG(:())aLa，则也是一个同态，称为由导出的同态。,()()()aGaaLa。显然imim，现问?Ker由定义知，//{()1}{()1}GGKeraLaLaLaLL{}KerGKaLaKerLLL（因L是K的正规子群），因此是单射KL。推论：设/:GG是满同态，KKer，那么/:(),(:()),GGGaKaK是一个同构，且G的任意同态象都同构于某一个商群GK，K为G的某一正规子群。§1.10同态象的子群，两个同构定理1、Th1.8设K是G的正规子群，H是G的子群且KH，那么（1）HHK是GGK的子群；（2）映射:HH是G中包含K的子群集合到G的子群集合的一个双射；（3）()HK是G中的正规子群H是G的正规子群。在此情况下()()GGGKHHHK。Proof：（1）由于K是G的正规子群，所以K也是H的正规子群，因此HHK与GGK都是商群。又HG，于是H是G的子群。（2）先证映射:HH是单射。设12,HH是G中包含K的两个子群且满足12()()HH，即12HHKK。下证：12HH。11hH，我们有2122,HhKhHK于是使得12hKhK，因此121hhK，从而1212hhH（因2KH）。这样1222hhHH。所以，12HH。同理可证21HH，因此21HH。这说明映射:HH是单射。下证:HH是满射。设N是G的任一个子群。令{|}HaKaKN，显然KH。12,hhH，,abG使得12,haKNhbKN，所以1122,hakhbk，其中12,kkK。于是11hKakKaKN，22hKbkKbKN，所以1212()()()hKhKhhKN，从而12hhH。类似可证11hH。于是H是G的一个子群。下证NH。,aKN我们有aKHaH，所以aKH；反之，,hKH我们有hH。由上述证明知hKN。于是NH。因此映射:HH是满射，从而:HH是双射。（3）如果H是G的正规子群，那么,aHgG，我们有11gaggagH（因为1gagH），所以H是G的正规子群。反之，如果H是G的正规子群，那么11,,()()()()hHgGghgKgKhKgKH，从而存在hH，使得1()ghgKhK，于是1ghghKhHH，即1ghgH。所以H是G的正规子群。在此情况下作映射:,(),GGgg与:,(:)GGggHH。考察的核，其中:GGH是满同态。{|()}{|(())}(),|,|,|().KergGgHgGgHgGgHgGgHHgGgHgGghhHgGgKhKhHgGghKhHgGgHKHH因为所以GGHH。证毕。2，Th1.8/（1）设/:GG是满同态，HHGHK=Ker是的子群且，///HHG是的子群。那么映射|()HH是与/的一一对应。（2）H在G中正规当且仅当()H在/G中正规。在此情况下：|()()gHgH是GH到/()GH的同构。注：Th1.8/（2）的第二个结论称为群的第一同构定理3、Th1.9（群的第二同构定理）：设H与K是G的子群，且K在G中正规，那么（1）|,HKhkhHkK是G中含K的子群；（2）HK是H中的正规子群，且映射|(),hKhHKhH是HKK到HHK的同构映射，即HKHKHK。Proof：（1）因为K在G中正规，则对于任意hH，均有hKKh。对于任意,abHK，我们有11221212,,,,,ahkbhkhhHkkK其中。所以112212121212()()()()abhkhkhKhKhKhKhhKKhhKKHK，同时1HK。又111111111akhKhhKHK，所以HK是G的一个子群。显然1HKKK，且K是群HK的正规子群。（2）设:,(:)GGGggKK，作/H。那么/Im{|}hKhH。因为,,hHkKhkKhK，所以/Im{()|,}hkKhHkKHKK。即/:HHKK。从而//{()}{}KerhHhKhHhKK，又因为hKKhK，所以/KerHK。从而HKHKHK。证毕。3、习题课P63，7Proof：（1）证明LGAutG是G的一个变换群。（a）,1sLsLIIGAutG；（b）,LGAutG，则有La，其中LLaG，AutG。取111()La，则有LGAutG，于是,()(())(())((()))LLxGxxaxax111()(())Laax=111()(())Laax111()()aax=11()aax=1(1)xx。同理可证()xx。sI，即1LGAutG。（c）12,LGAutG，我们有1122,LLab，其中12,AutG。121212112,()()((()))(()())LLxGxabxabxabx我们有11212112()(),()LLLabxabGAutG所以。LGAutG是一个变换群。(2)、1RRLRLGaaAutGGAutG.(3)、112212,.,,LLLLLabGAutGabxG如果那么12()()axbx.若取1x，则有12()()1xx，从而ab，进而12。所以LLGAutGGAutG。因此当G为有限时，LHolGGAutG。作业：P63：3，6；P67：1.