代数式求值的十种常用方法

代数式求值的十种常用方法代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规直接代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本文结合近几年各地市的中考试题，介绍十种常用的求值方法，以供参考。一、利用非负数的性质若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用“若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值。目前，经常出现的非负数有|a|，2a，a等。例1若a31和|3b8|互为相反数，则27ab12=_______。解：由题意知，0|3b8|a31，则0a31且03b8，解得31a，83b。因为818331ab，所以3727827ab122，故填37。练习：（2010年深圳市）若0|3b|2a2，则2007ba的值是（）A.0B.1C.–1D.2007提示：2a，3b，选C。二、化简代入法化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。例2先化简，再求值：bababbab2ba322，其中21a，1b。解：原式ab2babab2ababab2a22222222。当21a，1b时，原式11212ab2。练习：（2009年河北省）已知3a，2b，求22bab2aabb1a1的值。提示：原式ba1。当3a，2b时，原式=1。三、整体代入法当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式中去求值的一种方法。通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。例3(2010年已知4b1a1，则ab7b2a2bab3a=_______。解：由4b1a1，即ab4ba。所以原式ab7ba2ab3baab7b2a2bab3a1ababab7ab8ab3ab4。故填1。练习：代数式6x4x32的值为9，则6x34x2的值为A.7B.18C.12D.9提示：1x34x2，选A。四、赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围。例4请将式子1x111x1x2化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x的值代入求值。解：原式1x11x1x1x1x1x2x1x2x1x。依题意，只要1x就行，当0x时，原式22x或当2x时，原式42x。练习：先将式子22x1xx11化简，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值。提示：原式1xx。只要0x和1x的任意实数均可求得其值。五、倒数法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法。例5若7y3y222的值为41，则1y6y412的值为A.1B.–1C.71D.51解：由417y3y222，取倒数得，427y3y22，即1y3y22。所以1y3y221y6y4221112，则可得11y6y412，故选A。练习：已知4x1x，则1x5xx242的值是________。提示：133x1x5x1xx1x5x222224，填131。六、参数法若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母。例6如果2ba，则2222bababa的值是A.54B.1C.53D.2解：由2ba得，b2a。所以原式22222222bb2bbb2b2bababa53b5b322。故选C。练习：若34ba，则bba的值是A.31B.32C.1D.34提示：设k4a，k3b，选A。七、配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果。例7已知05b4a2ba22，求3b4a22的值。解：由05b4a2ba22，得04b4b1a2a22，即02b1a22，由非负数的性质得01a，02b，解得1a，2b。所以原式7324123b4a222。练习：若12c3b2a，且cabcabcba222，则32cba=_________。提示：2cba，填14。八、平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方值，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号。例8已知7yx且12xy，则当yx时，y1x1的值等于______。解：因为7yx,12xy,所以22222yxyxxyxyy1x11441121247yxxy4yx22222。又因为yx，所以0y1x1，所以121y1x1，故填21。练习：已知x1x3，则x1x的值是_______。提示：54x1x|x1x|2，填5。九、特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单。例9若3322103xaxaxaax2，则231220aaaa的值为_______。解：由3322103xaxaxaax2知，若令1x，则3321012aaaa；若令1x，则3321012aaaa，所以33312031202312201212aaaaaaaaaaaa112123。故填1。练习：已知实数a，b满足1ba，那么1b11a122的值为______。A.41B.21C.1D.2提示：可令1a，1b（a、b、c的取值不惟一），选C。十、利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值。例10（2007年德阳市）阅读材料：设一元二次方程0cbxax2的两根为1x，2x，则两根与方程系数之间有如下关系：abxx21，acxx21。根据该材料填空：已知1x，2x是方程03x6x2的两实数根，则2112xxxx的值为______。解：由根与系数的关系得，6xx21，3xx21所以2122212112xxxxxxxx103326xxxx2xx22121221。故填10。练习：（2009年云南省）已知1x、2x是一元二次方程02xx2的两个根，则21x1x1的值是A.1B.21C.1D.21提示：21xxxxx1x1212121，选D。事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题。