代数学(第7讲)

第七讲§1.8同余，商半群与群复习有关内容：1，设E是集合S的一个关系。如果E具有以下三种性质：（1）自反性：aS，均有aEa（或(,)aaE）；（2）对称性：,,abS当aEb时必有bEa（或当(,)abE时必有(,)baE）；（3）传递性：,,abcS，当aEb且bEc时，必有aEc（或当(,)abE且(,)bcE时，必有(,)acE）。那么关系E叫做S的一个等价关系。设E是集合S上的一个等价关系。,aS令{|}abSbEa，a称为由a确定的（关于等价关系E的）等价类。它对应的分类{|}EaaS称为关系E的商集，记为/SE，即/{|}SEaaS。2，设H是群G的子群，xG。我们称{}HxhxhH为x相对于子群H的右陪集，称{}xHxhhH为x相对于子群H的左陪集。新课：一、同余，商半群、商群1、Def1.4设(,,1)M是一幺半群，M上的一个同余（关系）是M中的一个等价关系，且满足//,,,aabbM，由////,aabbabab可推出。2、商幺半群设是(,,1)M的一个同余关系，M关于的商集记为MM，即{}MaaM，其中,axxMxa。,abM，我们定义abab，我们说这个定义是合理的。假设//,aabb，那么//,aabb，所以//abab，从而//abab，即//abab，这表明了定义的合理性。,,abcM，我们有()()abcabcabcabcabcabc，即结合律成立。又,11,11aMaaaaaa，因此1是M的恒等元。因此(,,1)M是一个幺半群。称(,,1)M为关于同余关系的商幺半群。3、商群设M=G是一个群，是G上的同余关系，则(,,1)G是一个幺半群，并且aG，111aaaa，111aaaa，所以11aa。于是(,,1)G是一个群。称(,,1)G为关于同余关系的商群。二、正规子群1、Def1.5设G是一个群，K是G的一个子群，如果,kKgG，均有1gkgK，则称K为G的一个正规（不变）子群。2、Th1.6设G是一个群，是G上的同余关系，那么，商群G中的恒等元1K是G的一个正规子群，并且,gGgKggK，其中Kg与gK分别是关于K的右陪集和左陪集。反之，设K是G的一个正规子群，在G上定义关系如下：1(mod)abKabK那么关系是G上的一个同余关系，而相对于的同余类g刚好是左（右）陪集gK。Proof：（1）假设是G上的一个同余关系，K是商群GG的恒等元，即1K。下证K是G的一个正规子群。首先，显然有11K。设12,kkK，则121,1kk，从而1212111kkkk，所以121kkK。于是，K是G的一个子幺半群。kK，我们有1k，从而1111111kk，这样1kK。所以K是G的一个子群。对于任意gG，我们将证明gKggK。设ag，则有ag，于是11111gagaggggK。这样11gaK,即agK。所以ggK；反之，,agKkK，使得agk，所以1agkgkgg，因此ag，这样gKg，于是gKg。同理可证Kgg，于是gKKg。下面证明群G的子群K是正规的当且仅当,gGgKKg。设K满足,gGgKKg，那么,,gGkKkggK均有，于是/kK，使得/1/,kggkgkgkK从而，因此K是G的正规子群。反之，若K是G的正规子群，那么gG，kK，均有1gkgK，于是kggK。这样KggK。同时1gkgK1111gkKggKKg，即gKKg。因此Kg=gK。（2）反过来，设K是G的一个正规子群，定义关系(mod)abK1abK当且仅当。易证是一个等价关系。下证(mod)abK是同余关系。设(mod),(mod)agKbhK，则有11,agKbhK，从而1212,,,gakhbkkkK这里。又因为K是正规的，bK=Kb，即3k，使得13kbbk。所以1123232()ghakbkabkkabghkkK(mod)abghK，它是一个同余关系。11I1,kkKKgagaKgK。证毕。3、记(mod)GGK为GK，称它为G的相对于正规子群K的因子群（商群）。在GK中定义运算：（gK）（hK）=（gh）K，则1KK是恒等元，gK的逆元是1gK。三、单群1、一个群若除了G和{1}之外没有其它的正规子群，则称G为单群。四、用集合论观点来定义正规子群1、设A,B是群G的两个子集，定义,,{1}ABabaAbBI。2、设G是一个群，那么P（G）是一个幺半群；G的子集H是子群211,,2,1,3,HHHHH；这里11{|}HhhH。§1.9同态一、基本概念1、Def1.6设M和M/是两个幺半群，/:MM，如果,abM，()()()abab，/（1）=1，则称是幺半群M到M/的一个同态。2、在Def1.6中，如果M/是一个群，则条件/（1）=1是多余的。因为由条件22/()()()(1)(1)(1),(1)1abab可推出从而。3、例：设G是集合S的一个变换群。TS，并且满足G,()TT。记T是在T上的限制，那么映射:GSymT(G,())T是G到SymT的一个同态，称为限制同态。因为,G,(),().()TTTTT从而。于是，tT，()()(|)()()(())((|)())(()())|(()())()(()())()()()tTtttTttTttt。从而()()()。4、一个同态不必是满射或单射。如果是满射（单射），则称是满同态（单同态）。当然如果是双射，则就是同构。5、设是幺半群M到幺半群M/的同态，那么,aMkN，我们有()(())kkaa。如果a是可逆的，那么由111aaaa可得1/11aaaa，因此/()aa在M/中可逆，且11aa，因此kZ，均有()(())kkaa。6、Th1.7：设与是幺半群M（或群G）到幺半群M/的同态，S是M（或群G）的生成集。如果,()()sSss均有，那么。Proof：设1()()MaMaa，显然1SM。因为/(1)1(1)，所以11M，同时，对于任意1,abM，我们有()(),()()aabb。于是()()()abab()()ab()ab，1abM因此。这说明1M是M的一个子幺半群。又1SM并且M=〈S〉，所以1MM。因此。类似地可证明群G的情况：设1G()()aGaa，那么1G是G的一个子幺半群。又111,()()aGaa11()()aa，所以11aG。因此1G是G的一个子群。又1SG并且G=〈S〉，所以1GG。因此。证毕。7、设M是一幺半群，M到自身的同态称为自同态，M到M的一个同构称为自同构。8、设////:,:MMMM是幺半群的同态，那么//:MM是幺半群的同态。因为()(())(()())(())(())()()ababababab，同时///(1)((1))(1)1，其中//1是M//中的恒等元。设{M}AutM是的自同构，那么AutM是M的一个变换群。称它为M的自同构群。再设End{M}M是的自同态，那么EndM是M的一个变换幺半群，称它为M的自同态幺半群。9、例（P58，第9题）：设12,GG是群G的子群：12:GGG，1212(,)ggGG，1212(,)gggg。①证明：11121212()(,)gggkkgkKGG。②证明：若12,GG是有限群，则121212GGGGGG。Proof：①kK，1212(,)ggGG，我们有11121212(,)gkkggkkggg，111212(,)()gkkggg。反之112(,)()stgg，则有12(,)stgg，从而12stgg。令1112gsgtk，则12kGG并且112,sgktkg。即112(,)(,)stgkkg，因此11121212()(,)gggkkgkKGG。所以112()ggK。②若12,GG是有限群，则1212GGGG。又121212:()GGGGGG是满射，并且E是12GG上的一个等价关系，所以1212:GGGGE是双射，从而1212GGGGE。又1212GGGGEK（因为112()ggK），所以121212GGGGGG。证毕。作业：P57：4，7，10.