以高等数学为背景的高考数学试题的研究

1以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要：本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议，为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中，中学数学里高等数学的含量正一步步扩大。选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容。选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3—3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4—4几何证明选讲、选修4—2矩阵与变换、选修4—3平面坐标系中几种常见变换、选修4—4极坐标与参数方程、选修4—5不等式、选修4—6初等数论初步。由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容，现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法。2作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作。随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高，本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数yx,，有：.Axx.Bxx22.Cyxyx.Dyxyx命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题。对任意的实数x，记不超过x的最大整数为x，通常称函数xy为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数，即对任意,,21Rxx若,21xx则21xx；若,,Ryx则1yxyxyx；由这条性质可推得选项D成立；若Nn,,Rx则xnnx。本题考查学生对取整符号的理解，以及对取整函数（高斯函数）概念的理解和性质的掌握。高等数学中涉及很多数学符号，比如表示直和、表示连乘符号、表示求和符号等。3命题2：（2012年四川理3）函数3),2ln(,3,39)(2xxxxxxf在3x处的极限A.不存在B.等于6C.等于3D.等于0本题主要考查函数的左、右极限与极限的概念。解：依题意可知：6)3(lim39lim)(lim3233xxxxfxxx0)23ln()2ln(lim)(lim33xxfxx因此函数)(xf在3x处的极限不存在。命题3：（2012年上海理3）函数1sincos2)(xxxf的值域是：解：因为,2sin212cossin2)(xxxxf且1,12sinx，所以函数)(xf的值域是23,25。本题考查了行列式的计算，要熟记行列式计算的概念。二、以高等数学基本公式为背景的问题在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4—5不等式选讲是这样叙述柯西不等式的:设naaa,,,21与nbbb,,,21是两组实数，则有222112222122221)())((nnnnbabababbbaaa当向量(naaa,,,21)与向量(nbbb,,,21)共线时，等号成立，即当且仅当),.....,2,1(niabii时等号成立。虽然课标对这一部分内容要求不高，但这是一个很好的高等数学与中学数学知识点的交汇。以此为背景可以设计很多题目。命题4：（2013年湖北理13）设Rzyx,,且满足：1222zyx，1432zyx，则zyx（）4命题透视：本题以求解代数式的值的形式考查了柯西不等式的应用，解答的关键是如何巧妙利用柯西不等式等号成立的条件来求解zyx,,的值，理解柯西不等式等号成立的条件是关键。解：由柯西不等式得：2222222)32()321)((zyxzyx，当且仅当321zyx时等号成立。由已知,1222zyx1432zyx得：2222222)32()321)((zyxzyx所以有321zyx，再结合1432zyx得：14143,14142,1414zyx所以zyx7143。例1:（2014年陕西理15A）设,,,,Rnmba且,5,522nbmaba则22nm的最小值为（）解：由柯西不等式可知22222)())((nbmanmba将,5,522nbmaba代入得522nm。例2：（2013年陕西理15A）设nmba,,,均为正数，且,2,1mnba则))((anbmbnam的最小值为（）解：由柯西不等式可知2)()())(())((22mnbabmbnanambmanbnamanbmbnam当2nm时，))((anbmbnam取得最小值2.三、以高等数学中矩阵知识点为背景的问题矩阵的相关理论是高等数学中高等代数的知识点，而在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4—2矩阵与变换中给出了二阶矩阵的定义，以及矩阵的特征值和特征向量的概念及性质。5命题5：（2014年福建理21）已知矩阵A的逆矩阵21121A（1）求矩阵A（2）求矩阵1A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量命题透视：本题是以高等代数中的矩阵为背景，考查了逆矩阵的概念，如何求解矩阵的特征值和特征向量.结合中学的向量知识，考查了学生对新情景下知识的理解、抽象概括能力以及阅读理解、对新知识的迁移能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，体现了在高等数学与高中数学的衔接处命题。解：（1）因为矩阵A是矩阵1A的逆矩阵，且1A,031122所以32313132211231A（2）矩阵1A的特征多项式为2112)(f)3)(1(342令,0)(f得矩阵1A的特征值为11或32，所以11是矩阵1A的属于特征值11的一个特征向量，11是矩阵1A的属于特征值32的一个特征向量。例3:(2014年江苏卷）已知矩阵xA121，1211B,向量ya2，yx,为实数，若,BaAa求yx的值。6解：由已知，得,2222121xyyyxAa.4221211yyyBa因为,BaAa所以.42222yyxyy故yxyyy42222解得421yx所以27yx四、以高等数学中导数思想为背景的问题初等数学中经常用不等式、配方等方法求最值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。但这些方法往往是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；另一方面是使用面较窄，只能解一些较特殊的问题。自从导数这块内容注入到中学教材之后，利用导数作为工具已成为高中学生研究函数性质的重要手段。这使得原本就受命题者青睐的导数几乎成了数学高考中的主角，基本上是每年必考的知识点之一。用导数方法求极值，求函数的单调性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面广一些，机制和最值也容易分清。以及用导数方法证明不等式等是导数思想命题重难点。命题6：设函数cxxxgaxaxxxf42)(,31)(223。（1）试判断函数)(xf的零点个数；（2）若,1a当4,3x时，函数)(xf与)(xg的图像有两个公共点，求c的取值范围。解：因为)31(31)(223aaxxxaxaxxxf令,0)(xf得0x或0312aaxx（※）显然方程（※）的根的判别式)34(34)(314)(22aaaaaa7当34a或0a时，0，方程（※）有两个非零实根，此时函数)(xf有3个零点；当34a时，0，方程（※）有两个相等的非零实根，此时函数)(xf有2个零点；当0a时，0，方程（※）有两个相等的零实根，此时函数)(xf有1个零点；当034a时，0，方程（※）没有实根，此时函数)(xf有1个零点；综上所述：当34a或0a时，函数)(xf有3个零点；当34a时，函数)(xf有2个零点；当034a时，函数)(xf有1个零点.（2）设)()(xgxf，则,4231223cxxaxaxx因为1a，所以xxxc33123设xxxxF331)(23，4,3x，则,32)(2xxxF令,0)(xF解得.3,121xx列表如下：x3)1,3(1)3,1(3)4,3(4)(xF++0-0++)(xF9359320由此可知)(xF在]1,3[，]4,3[上是增函数，在]3,1[上是减函数。当1x时，)(xF取得极大值;35)1(F当3x时，)(xF取得极小值9)3(F,而9)3(F，320)4(F。如果函数)(xf与)(xg的图像有两个公共点，8则函数)(xF与cy的图像有两个公共点，所以35320c或9c。命题透视：本题考查了三次函数的零点个数问题和构造函数求解不等式问题，两个问题都用到了导数思想。即从高等数学的导数思想分析：构造辅助函数，利用导数来研究函数性质。考查了函数的单调性和极值以及函数图像等性质。例4：已知函数)(ln)(Raxaxxf,xxg1)(。（1）求)(xf的单调区间与极值；（2）若函数)(xf的图像与函数)(xg的图像在区间],0(2e上有公共点，求实数a的取值范围。五、以高等数学中积分思想为背景的问题普通高中课程标准试验教科书选修2—2（北师版）中，增加了微积分的部分知识。这即可以增强高中数学的人文价值，也使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养，还可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学质量的提高。命题7：（2014年江西理8）若)()(2)(102xdxfxxf，则)()(10xdxf解：因为)()(10xdxf是常数，所以xxf2)(，所以可以设,)(2cxxf所以,)31(210322cxxxcx解得：)()32()()()()(,3210102210xdxxdcxxdxfc(31)3231103xx。本题考查了定积分的计算，注意若定积分的积分上限和积分下限都是常数，则它的结果是一个数值。9由此可见，初等数学的解法实际上是高等数学思想的具体体现。初等数学思想是高等数学思想的简单体现，也是学习高等数学的基础。用高等数学的思想去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步充实初等数学的某些理论的论述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。六、以高等数学为背景的中学