偏微分方程数值解法期末考试题答案

期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应用数学班级：数学课程：偏微分方程数值解法教学大纲：《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）使用教材：《偏微分方程数值解法》教材作者：陆金甫、关治出版社：清华大学出版社1一、判断题（每小题1分，共10分）1、（O）2、（O）3、（X）4、（X）5、（O）6、（O）7、（O）8、（X）9、（X）10、（O）二、选择题（每小题2分，共10分）11、（D）12、（A）13、（C）14、（B）15、（C）三、填空题（每小题2分，共20分）16、22222212nxxx17、A=[459;23517;11231]18、y=exp(-t/3)*sin(3*t)19、help20、zeros(m,n)21、inva(A)*b或者A/b22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0asbsscs24、1()2ixved25、1(,)(,)jnjnuxtuxt四、计算题：（每小题12分，共36分）26、写成对流方程0uuatx（,0xRt）的有限差分方程（两层显示格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式/h为网格比。解：在点(,)jnxt处，差分方程为110nnnnjjjjuuuuah（0,1,2,j，0,1,2,n）（8分）便于计算的形式为11()nnnnjjjjuuauu，/h（4分）27、写出扩散方程22uuatx的有限差分方程（中心差分格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，2/h为网格比。解所给对流扩散方程的近似差分方程为111220nnnnnjjjjjuuuuuah（0,1,2,j，0,1,2,n）（8分）便于迭代计算的格式为111(2)nnnnnjjjjjuuauuu，2/h（4分）28、计算差分格式11()nnnnjjjjuuauu，（其中/h，0a）的增长因子，并根据vonNeumann条件给出差分格式稳定性条件。解令nnijkhjuve，代入11()nnnnjjjjuuauu，得到1(1)nijkhnijkhnikhijkhveveavee2消去公因子有1[1(1)]nikhnvaev（6分）增长因子为(,)1(1)1(1cos)sinikhGkaeakhaikh所以有222|(,)|[1(1cos)][sin]Gkakhaikh214(1)sin2khaa如果1a，则有|(,)|1Gk，根据vonNeumann条件，格式是稳定的。（6分）五、证明题（12分）29、把下列Richardson格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了vonNeumann条件，从而证明此格式不稳定。11112(2)nnnnnjjjjjuuauuu，2/h证明把已知的三层格式化为二层差分方程组11112(2)nnnnnjjjjjnnjjuvauuuvu令[,]nnnTjjjuuv，则以上方程组可以改写为1111111204020001000nnnnjjjjnjnnnnjjjjuuuuaaauvvvv（4分）或111204020001000nnnnjjjjaaauuuu令nnikjhjjuve，代入上式消去公因子ikjhe，得到1(1)(1)204020001000nijkhnijkhnijkhnijkhjjjjaaaveveveve204020001000ikhikhnijkhjaaaeeve（4分）化简系数矩阵得到218sin1210nnkhavv其特征值为22241,24sin116sin22khkhaa取正的为1，则有21||14sin2kha由此不满足vonNeumann条件，所有Richardson格式是不稳定的。（4分）3六、编程题（12分）：30、用Matlab的M文件的形式（function函数）写出以下迭代格式的计算程序。11()nnnnjjjjuuauu，/h初始条件为(,0)sin,01uxxx，(0,)(1,)0,0ututt。解设a为方程中的系数a，tao为时间步长，h为空间步长，N，M分别为时间和空间的最大计算步数。function函数如下function[u]=jch(a,tao,h,N,M)%u=1;t=0.5;x=1;lamda=tao/h;forj=1:Nx(j+1)=x(j)+tao;forn=1:Mt(n+1)=t(n)+h;ifj==1u(j,n)=sin(pi*x(j));elseifn==1u(j,n)=0;elseu(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0;endendendendend