偏微分方程期末试题A卷

第1页共5页安徽大学2008—2009学年第二学期《偏微分方程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.对常系数方程xyzuaubucuduf作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失.2.设:RR是光滑凸函数，(,)uxt是热传导放程0tuu的解，则()u是热传导方程的(下解;上解；解).3.上半平面的Green函数G(x,y)为，其中12(,)yyy为上半平面中某固定点.4．设函数u在以曲面为边界的区域内调和，在上有连续的一阶偏导数，则udSn=，其中n是的外法方向.5.热传导方程2()0txxyyuauu的特征曲面为．得分第2页共5页二、计算题（每小题10分，共40分）1．求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,txubucuxtRuxgxR其中，,bcR都是常数.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：2000,0,0,|(),|0.txxtxuauxtuxu得分第3页共5页3．试求解22008(),|,|.ttxxyyzztttuuuutuxyuz4．写出定解问题：200(),0,0,|0,|0,|().txxxxltuaufxxltuuugx解的一般形式.第4页共5页三、判断分析题（10分）试判断下面命题是否成立，并说明原因.在证明Hopf引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()vx满足(a)在球面()RBy上0;v(b)v沿球()RBy的半径方向的方向导数v0；(c)在整个球()RBy内下调和.四、分析计算题（15分）试判断下列方程2222222sincoscos0uuuuxxxxxyyy的类型，并根据标准型求出此方程的通解.得分得分第5页共5页五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）1．设G是2R中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：满足方程0xxyyuu的函数u(x,y)在G上的最大值不会超过它在边界G上的最大值.2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n维Laplace方程的第三边值问题12nu(x)0,x=(x,x,,x),0uufn是常数的解的唯一性，其中为边界光滑的有界区域.得分