上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)

DCAOB2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015年12月6日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题10分，共80分）1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则ABD的面积为______________。解答：依据切割线定理可以得到：22CDCBCACD。因为可以得到BDCDCDCBDAADAC∽因此有2122BDAD。因为AB为圆O的直径，所以ABD时直角三角形。依据勾股定理有222221133ABBDADBDBD。而2122226ABDSBDADBD2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3735C种，因为没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为344C第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两个，取法有224312CC.这样和为奇数一共有41216种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为16353、实数,xy满足234xy，234yx，xy，则xyyx的值为____________。解答：因为223434xyyx①②上述①②两个相减，得到：()()3()0xyxyxy。因为xyBCO1O2PA所以有3xy。上述①②相加得到2223()4()23()4xyxyxyxyxy所以1xy。因此2()21xyxyxyyxxy4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,abc。则有23()abcabc。因为23是素数，从23()abcabc，可以得到23能够整除三个素数,,abc的abc积。从而可以得到其中有一个素数必为23。假设23a这样就有23124(1)(1)2446212bcbcbcbcbc因为,bc为素数，所以得到5,7bc或3,13bc这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。5.如图，圆1O与圆2O外切于点P，从圆1O上点A作圆2O的切线AB，B是切点，连接AP并延长，与圆2O交于点C．已知圆1O、圆2O的半径分别为2、1，则ACAB________．解答：做如图所示的辅助线。可以得到21211//2COPCAOCOPAAO为此设PCk，则2.PAk应用切割线定理有：2236.ABAPACkkABk所以3626ACkABk。6、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，MON的两边分别是射线yx(x与x轴正半轴．点A(6,5)，B(10,2)是MON内的两个定点，点P、Q分别是MON两边上的B'A'BAMNPQ动点，则四边形ABQP周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP，其中一个边AB为定值。要求四边形ABQP周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到/(5,6)A,/(10,2)B.四边形另外三边的最小值为//AB依据两点间距离公式有。//22(105)(26)89AB，22(105)(25)34AB从而最小值为8934。7.不定方程2222xyxyxy的整数(,y)x解共有________组。解答：设xyk，所以从2222xyxyxy，可以得到222kxyxyk所以222233kkkkxyxy。这样,yx是方程22203kktkt的两个根，并且根为整数。所以2222()40803kkkkk。因此有08k。同时要保证22(2)33kkkkxy为整数。这样就有0k，3，5，6，8当0k时，(,y)(0,0)x当3k时，方程为方程2310tt没有整数解。当5k时，方程为方程2550tt没有整数解。当6k时，方程为方程2680tt，有整数解为2,4。所以(,y)(2,4)x或(4,2)当8k时，方程为方程28160tt，有整数解为4,4。所以(,y)(4,4)x整数(,y)x解共有4组D'PDCBA8.设a是给定的正实数，n是给定的大于1的整数，实数123,,,,nxxxx满足2222123nxxxxa，则2222212131232()()()()()nnxxxxxxxxxx21()nnxx的最大值________________。解答：因为2222212131232()()()()()nnxxxxxxxxxx21()nnxx22212123234211(1)()2()2()2()2nnnnxnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx123234211(1)2()2()2()2nnnxnnnnaxxxxxxxxxxxxx有这样的一个结论，因为222222222222()2xyxyxyxyxyxyxyxy而1232342112()2()2()2nnnxnnnxxxxxxxxxxxxx22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxnxxx)(1)na所以最大值为2(1)na二、解答题（第9、10题，每题15分，第11、12题，每题20分，共70分）9.如图，在△ABC中，BCa，CAb，ACB，△ABD是正三角形，P是其中心，求CP的长度．解答：分析作D点关于AB的对称点/D。则/ADB为等边三角形，这样就有/060ADB，已知ACB所以/,,,ACDB四点共圆。这个圆过P点。连接AP，BP。因为P是正三角形ABD的中心，所以023sin6033APBPABAB因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理可以得到ABPCBPACAPBC所以3()3PCab。10.在1，2，…，2015这2015个正整数中选出k个数，使得其中任意两个不同的数的和都不是50的倍数，求k的最大值．解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，…,47,48,49。共50中情况。而2015504015。下面吧从1,2，…，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数12…15…242526…48490第1行12…15…242526…484950第2行5152…65…747576…9899100第3行101102…115…124125126…148149150……………………………第40行19511952……199819992000第41行20012002…2015…第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977这样集合为这样式样{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974,2001,,2015}50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此k的最大值为977.11.已知△ABC的三边长均为正整数，周长为35，G和I分别为△ABC的重心和内心，OFMQPNEGDICABGICAB且GIC，求边AB的长度．解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。由题意知道GIC，并且平分ACB,出现角平分+垂直的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.很容易得到CMN为等腰三角形，也就是CMCN过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设ABC的内接圆的半径为r。由面积法得到：CGMCGNCIMCINSSSS也就是1112222CMGPCNGFrCN所以2GPGFr因为G为三角形ABC的重心，可以得到11233BACABCddr用面积法有：12122233SSSbaabc化简为116baabc也就是635abab635()abab，因为,ab为正整数所以得到35abk，则6abk为此,ab为方程26350tktk的两个根。235(6)43509kkk有356356abkk。因此4,5k当4k时，方程为2243540(14)(10)014,10ttttt所以此时10,14ab。因此11AB。当5k时，方程为2303550tt没有整数解。因此11AB。12.设,ab是正整数，22ab不是4的倍数，求证：(3)(57)abab不是完全平方数．证明：22()()ababab，当,ab为同奇数，或者同偶数时，可以得到22()()ababab一定是4的倍数。已知22ab不是4的倍数，所以,ab中一个为奇数，一个为偶数。假设21,2anbm。因为222222(3)(57)522215(21)22(21)221(2)20(1)588448420(1)8840804(1)5ababaabbnnmmnnmnmmnnmnmmmm因为220(1)8840804(1)nnmnmmmm能够被8整除。所以此时(3)(57)abab被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。假如2,21ambn，因为222222(3)(57)522215(2)222(21)21(21)208844214(1)21168840214(1)164(1)5ababaabbmmnnmmnmnnmmnmnnmm从而2168840214(1)164(1)mmnmnnmm能够被8整除，所以此时(3)(57)abab被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。综合可以得到：(3)(57)abab不是完全平方数．