元二次方程的根与系数的关系

中考网元二次方程的根与系数的关系[内容]一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理和它的逆定理)教学目标(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据：(二)使学生会运用根与系数关系解题.教学重点和难点重点：根与系数关系的推导.难点：根与系数关系的运用.教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.（二）新课从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系：1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)3.猜想ax2+bx+c=0(a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生化为x2+0acxab后，猜想)为x1+x2=-ab，x1x2=ac.4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了.中考网证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,5.读课文P31第3行第4行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象.6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”.读课本P31第10至11行的黑体字.如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.教师必须要求学生能用语言表达上述定理.“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(这个定理又叫做韦达定理)7.再要求读课本P31的倒数第3行到倒第1行(也要求学生用语言表达此定理).“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理)例题讲解例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方程的系数代入，算出结果了.(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=(-32)÷(-12)=3.中考网求一个一元二次方程，使它的两根分别是分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字；“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.例4已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x.再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在课本P61学到.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程.(三)课堂练习1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=.2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是().3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k=.答案或提示(四)小结1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.中考网已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.(五)作业1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于().2.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为().3.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根().(A)一定都是奇数(B)一定都是偶数(C)有可能是真分数(D)有可能是无理数4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.5.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.作业的答案或提示.中考网观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.2.教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.