充分条件与必要条件(2)(教学设计)

1充分与必要条件（2）（教学设计）1.2.2充要条件教学目标：知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件,必要而不充分条件,既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教学过程：一、复习回顾：1、命题：若p，则q(1)若pq，且qp.则P是q的充分不必要条件(2)若pq，且qp.则p是q的必要不充分条件(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若pq，且qp.则p是q的既不充分与不必要条件备注：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。二、创设情境，新课引入：问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竞成（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分．在数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若ab,则a+cb+c;（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ0．这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、师生互动，新课讲解问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x2，q：x1；（2）p：x1,q：x2；（3）p：x0,y0，q：x+y0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：（1）∵x2x1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.（2）∵x1x2，但x2x1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.（3）∵x0,y0x+y0，x+y0x0,y0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，2p是q的必要条件.在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.1．相关的概念如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条件。说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。例1（课本P11例3）：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x＞0,y＞0,q:xy＞0；（３）p:a＞b,q:a+c＞b+c；（４）p:x＞5,,q:x＞10（５）p:a＞b,q:a2＞b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；命题（２）中，pq,但qp，故p不是q的充要条件；命题（４）中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题（５）中，pq，且qp，故p不是q的充要条件；例2：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？（答：充分不必要条件）延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．例3：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性MNPQ显然M是Q的充分不必要条件例4（课本P11例4）：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．证明过程略（见课本P11）．课堂练习（课本P12练习）例5:求证实系数一元二次方程20xpxq有两个异号根的充要条件是0.q解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性∵0.q∴方程20xpxq的240pq∴方程20xpxq有两个不相等的实根，设其为12xx，。∵120xxq·3∴方程20xpxq有两个异号实根（2）再证必要性∵方程20xpxq有两个异号实根，设其为12xx，∴120xx·∵12xxq·∴0q由（1）（2）原命题得证。评析注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.四、课堂小结，巩固反思：1、命题：若p，则q(1)若pq，且qp.则P是q的充分不必要条件(2)若pq，且qp.则p是q的必要不充分条件(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若pq，且qp.则p是q的既不充分与不必要条件五、布置作业：A组：1、（课本P12习题1.2A组NO：3）2、（课本P12习题1.2A组NO：4）3．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．“A∩B=A”是A=B的(B).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是___________;（答：4a+b=0）6．若a、b都是实数，从①0ab；②0ab；③0ab；④0ab；⑤220ab；⑥220ab中选出使a、b都不为0的充分条件是①②⑤．B组：1、（课本P12习题1.2B组NO：1）2、（课本P12习题1.2B组NO：2）43．判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B.解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故BA.而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴AB.故A为B的必要不充分条件.(2)∵ABA∪B=B，而当A=B时，A∪B=B，即qp，∴p为q的充分不必要条件.4．已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N+｝.当a为何值时.①A是B的充分而不必要条件；②A是B的必要而不充分条件；③A是B的充要条件.C组：1、设A=｛x｜-2≤x≤a｝，B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝，M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.求使MB的充要条件是什么?解：∵A=｛x｜-2≤x≤a｝,M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.∴B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝=｛y｜-1≤y≤2a+3｝.当-2≤a＜0时，M=｛Z｜a2≤Z≤4｝.当0≤a≤2时，M=｛Z｜0≤Z≤4｝.当a＞2时，M=｛Z｜0≤Z≤a2｝.∴当-2≤a＜2时，MB4≤2a+3，即12≤a≤2；当a＞2时，MBa2≤2a+3，即2＜a≤3.综上可知，所求的充要条件为12≤a≤3.2、试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.解法1：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根0)1(0)0(1200ffm01002042nmnmnm011002042nmnmnm.解法2：方程在(0，1)内有实根0)1)(1(0)1()1(00021212121xxxxxxxx01002042nmnmnm奎屯王新敞新疆011002042nmnmnm.