充分条件与必要条件认识的误区(发表于数学通讯)

充分条件与必要条件认识的误区苗勇(江苏省睢宁县古邳中学221241)教学中，我们发现学生对充分条件和必要条件的理解一般仅停留在机械记忆的层面上，一般来说，学生被直接且明确地要求判断p是q的充分条件还是必要条件等问题时，多数情况下也能解决，但更深层次的应用，学生往往不能自觉从充分条件和必要条件上进行分析，经常出现思维上的混乱.下面通过几个案例予以说明.案例1(误把充分条件当充要条件)：设数列{}na的前n项的和21(1)4nnSa，求数列{}na的通项公式.误解：由条件得21111(1)4aSa，即21(1)0a，所以得11a.当2n时，22111[(1)(1)]4nnnnnaSSaa，得221(1)(1)nnaa，即12nnaa或1nnaa对任意的2,nnN成立当12nnaa时，数列{}na是首项为1，公差为2的等差数列，故21nan；当1nnaa时，数列{}na是首项为1，公比为-1的等比数列，故(1)nna.综上，数列{}na的通项公式为21nan或(1)nna.评析：该题以上解答过程看似严谨，实则错误，其错误比较隐蔽，其根源在于对“12nnaa或1nnaa对任意的2,nnN成立”的理解上.事实上，“12nnaa或1nnaa对任意的2,nnN成立”，所表示的是：对每一个不小于2的正整数n，na与1na的关系至少满足两上等式中的一个，不同的n的值，所满足的等式可以不同，并不表示同一个数列的所有项要么满足12nnaa，要么满足1nnaa.如数列1,3，-3；数列1，3，5，-5，5都是满足条件的数列，可以知道，满足条件的数列有无穷多个.由上可知，“12nnaa对任意的2,nnN成立或1nnaa对任意的2,nnN成立”只是“12nnaa或1nnaa对任意的2,nnN成立”的充分而不必要条件，错解中却当成充要条件了，这一做法，使“解集”变小了.案例1的一般化是：“命题p恒成立或命题q恒成立”是“命题p或q恒成立”的充分条件，解题时切莫当成充要条件.案例2(误把必要条件当充要条件)：函数322(),fxxaxbxa在1x时有极值10，那么ba__误解：2()32fxxaxb，因函数322(),fxxaxbxa在1x时有极值10，所以(1)0(1)10,ff即2230110,abaab解得33ab或411,ab所以0-7ab或.评析：0()0fx是连续可导函数()fx在0xx处取得极值的必要而非充分条件，只有0xx处左右两侧导数符号相反时，函数()fx才在0xx处取得极值，本题错误的根源在于误把必要条件当充要条件来解题了.本题应补充验证充分性的过程：当3,3ab时，22()3633(1)0fxxxx，显然()fx在(,)上是增函数，从而()fx在1x时无极值，故3,3ab舍去；当4,11ab时，2()3811(311)(1)fxxxxx，当11(,1)3x时，()0,fx函数()fx在11(,1)3上是减函数，当(1,)x时，()0,fx函数()fx在(1,)上是增函数，所以此时函数()fx在1x时有极小值，所以-7ab.案例3(误把既不充分也不必要条件当充要条件)：若函数xxkkxf212)(（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为误解：因为)(xf是奇函数，所以0)0(f，即011kk，所以1k.评析：0)0(f是函数)(xf为奇函数的既不充分也不必要条件，本题解答错当成充要条件了，正确解答为：因为)(xf是奇函数，所以222(1)(22)()()01212(12)(12)xxxxxxxxkkkfxfxkkkk对函数定义域中的任意x都成立，得1k，当1k时，xxxf2121)(，函数定义域为(,)，当1k时，xxxf2121)(，函数定义域为(,0)(0,)都关于原点对称，所以1k.案例4(误把充要条件当必要条件)：已知,pq是常数，等比数列{}na的前n项的和(0,1)nnSpqpp，求q的值.误解：由条件得11aSpq，当2n时，11(1)nnnnaSSpp，因为0,1pp，故当3n时，121(1),(1)nnnnapppapp因为数列{}na是等比数列，把所以21,apa即(1),ppppq解得1q，这是{}na是等比数列的必要条件，下面证明1q也是{}na是等比数列的充分条件：当1q时，11ap，也适合1(1)nnapp，所以1(1)()nnappnN，则1(2,)nnapnnNa，故{}na是等比数列.因此1q.评析：上面的解法，看起来似乎无懈可击，求解一个命题成立的充要条件时，若先求出命题成立的必要条件，则必须验证这个条件是否充分，但当所列的式子不仅仅是必要的，而且是充分的，这样的求解结果就是充要条件，就不必再验证充分性了.事实上，数学中的每一个概念的定义都是充要性命题，所以利用概念的定义来处理问题得出的结论一定是充要条件.上述解答是利用等比数列的定义求出1q的，其过程步步用充要条件表达为：数列{}na是等比数列对任意的正整数3n时，211nnaaaa(1)ppppq1q，所以此种方法得到1q就是数列{}na是等比数列的充要条件，不必要再去验证1q是否满足充分性.上述解答中，错把充要条件当成必要条件使用，不仅仅是有画蛇添足之嫌，而且犯了逻辑上的错误.值得一提的是，本题若是利用3221aaaa求出1q时，只能说明1q就是数列{}na是等比数列的必要条件，那就得验证是否充分了.从以上案例可以看出，对充分条件和必要条件的深层次的理解，体现在每一次解决问题中，教学中，我们不能只把“充分条件和必要条件”作为知识和技能教学，而应作为一种思维方式教学，要在解题中自觉地把充分条件和必要条件的作为分析问题的一种工具，这样就不会出现思维上的混乱，就会避免很多错误.参考文献：1．庞新军.对一道高考选择题的思考.数学通讯，2010(1,2学生)2．陈云烽.话说无解.中学数学教学参考(上旬)，2009,113．王峰.从一个案例看充要条件的求解.中学数学教学参考(上旬)，2010,114．龚辉斌.凸显数学概念的思维价值—“充分条件和必要条件”的教学思考.中学数学教学参考(上旬),2010，10