光学信息技术第三章习题

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1第三章习题解答3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数(3.35)式时,对于积分号前的相位因子2220202002exp)(2expMyxdkjyxdkjii试问(1)物平面上半径多大时,相位因子)(2exp20200yxdkj相对于它在原点之值正好改变π弧度?(2)设光瞳函数是一个半径为a的圆,那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少?(3)由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么a,λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子)(2exp20200yxdkj解:(1)由于原点的相位为零,于是与原点位相位差为的条件是22200000()22krkxydd,00rd(2)根据(3.1.5)式,相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样,其中心位于理想像点00(,)xy2200002012(,;,)(,)exp[()()]iiiiiihxyxyPxyjxxyydxdyddd12200(2)11iiaJarcircddaddB式中22rxy,而2222200()()iiiixxyydd(1)在点扩散函数的第一个零点处,1(2)0Ja,此时应有23.83a,即00.61a(2)将(2)式代入(1)式,并注意观察点在原点(0)iixy,于是得000.61dra(3)(3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献00(,;0,0)hxy。按照上面的分析,如果略去h第一个零点以外的影响,即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献,那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近000.61/rda范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子200exp[/2]jkrd变化不大,就可认为(3.1.3)式的近似成立,而将它弃去,假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16)就满足以上要求,则200/216krd,200/16rd,也即02.44ad(4)例如600nm,0600dnm,则光瞳半径1.46amm,显然这一条件是极易满足的。3.2一个余弦型振幅光栅,复振幅透过率为00002cos2121),(xfyxt放在图3.5所示的成像系统的物面上,用单色平面波倾斜照明,平面波的传播方向在x0z平面内,与z轴夹角为θ。透镜焦距为f,孔径为D。(1)求物体透射光场的频谱;(2)使像平面出现条纹的最大θ角等于多少?求此时像面强度分布;(3)若θ采用上述极大值,使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少?与θ=0时的截止频率比较,结论如何?3解:(1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为0exp(sin)Ajkx,为确定起见设0,则物平面上的透射光场为000000(,)exp(sin)(,)UxyAjkxtxy00000sin1sin1sinexp2exp2()exp2()222Ajxjxfjxf其频谱为000(,)(,)AUxyF00sin1sin1sin222Aff由此可见,相对于垂直入射照明,物频谱沿轴整体平移了sin/距离。(2)欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统,系统的截止频率/4cDf,于是要求sin4Df,0sin44DDfff由此得0sin44DDfff(1)角的最大值为maxarcsin4Df(2)此时像面上的复振幅分布和强度分布为01(,)exp2[1exp(2)]242iiiiiADUxyjxjxff205(,)cos244iiiAIxyfx4(3)照明光束的倾角取最大值时,由(1)式和(2)式可得044DDfff即02Dff或0max2Dff(3)0时,系统的截止频率为/4cDf,因此光栅的最大频率0max4cDff(4)比较(3)和(4)式可知,当采用max倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍,也就提高了系统的极限分辨率,但系统的通带宽度不变。3.3光学传递函数在fx=fy=0处都等于1,这是为什么?光学传递函数的值可能大于1吗?如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样?(1)在(3.4.5)式中,令11(,)(,)(,)iiiiiiiihxyhxyhxydxdy为归一化强度点扩散函数,因此(3.4.5)式可写成(,)(,)exp[2()]iiiiiihxyjxydxdyH而(0,0)1(,)iiiihxydxdyH即不考虑系统光能损失时,认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上,这便是归一化点扩散函数的意义(2)不能大于1(3)对于理想成像,归一化点扩散函数是函数,其频谱为常数1,即系统对任何频5率的传递都是无损的。3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI(xi,yi)成点对称时,则其光学传递函数是实函数。解:由于(,)Iiihxy是实函数并且是中心对称的,即有*(,)(,)IiiIiihxyhxy,(,)(,)IiiIiihxyhxy,应用光学传递函数的定义式(3.4.5)易于证明(,)(,)*HH,即(,)H为实函数。3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a,出瞳到像面的距离为di,光波长为λ,这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大?解:用公式(3.4.15)来分析。首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠,这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积,其结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截止频率约为2/iad,由于2a很小,所以系统实现了低通滤波。3.6试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像。解:如图图3.6题设1是透过率函数为),(00yxt的物平面,2是与1共轭的像平面,即有fddi1110=),(00yxt),(iiyx0did),(yx6式中f为透镜的焦距,设透镜无像差,成像过程分两步进行:(1)射到物面上的平面波在物体上发生衍射,结果形成入射到透镜上的光场lU;(2)这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后,在透镜的后表面上形成衍射场'lU,这个场传到像面上形成物体的像。为了计算光场,我们用菲涅耳近似,透镜前表面的场为00000020200002222dydxdyyxxjkdyxjkyxtdλjdyxjkUil)exp()exp(),()exp(这里假定),(00yxt只在物体孔径之内不为零,所以积分限变为,此积分可以看成是函数)exp(),(02020002dyxjkyxt的傅立叶变换,记为),(yxffF,其中00dλyfdλxfyx,在紧靠透镜后表面处)exp(),()exp('fyxjkffFdλjdyxjkUyxl22220022这个被透镜孔径所限制的场,在孔径上发生衍射,在用菲涅耳近似,便可得到像面2上的光场dxdydyyxxjkfyxjkUdλjdyxjkyxUiiiliiiiiii)exp()exp()exp(),(222222dxdydyyxxjkdyxjkfyxjkdλjdyxjkffFdλjdyxjkiiiiyxiiii)exp()exp()exp()exp(),()exp(222222220022227dxdydyyxxjkfddyxjkffFddλdyxjkiiiiyxiiii)exp()](exp[),()exp(111220220222由题设知,01110fddi并且假定透镜孔径外的场等于零,且忽略透镜孔径的限制,所以将上式中的积分限写成无穷,于是上述积分为dxdydyyxxjkffFddλdyxjkyxUiiiyxiiiiiii)exp(),()exp(),(02222dxdydλyydλxxπjffdλydλxFddλdyxjkiiiiyxiiii)(exp(),,()exp(22000222注意,,,0000dλdydfdλdxdfdxdxyxii于是得yxyxyxiiiiiiidfdfyfxfπjffFdddyxjkyxU))(exp(),(/)exp(),(22022020200022022dyxjkyxtdyxjkddiiiiexp(),()exp(),()exp()exp(000202022022yxtdyxjkdyxjkddiiii再考虑到0x和ix之间的关系得到),(iiiiiiddyddxtddU000即得到像平面上倒立的,放大0ddi倍的像。83.7试写出平移模糊系统,大气扰动系统的传递函数。解:在照相系统的曝光期间,因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊,这种系统称为平移模糊系统,它的线扩散函数为一矩形函数)()(axrectaxL1其传递函数为xxxafπafπfH)sin()(对于大气扰动系统,设目标物为一细线,若没有大气扰动,则理想成像为一条细线。由于大气扰动,使在爆光期间内细线的像作随机晃动,按照概率理论,可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a,细线的线扩散函数为)exp()(22221axaπxL对上式作傅立叶变换,就得到大气扰动系统的传递函数)exp()(2222xxfaπfH3.8有一光楔(即薄楔形棱镜),其折射率为n,顶角α很小,当一束傍轴平行光入射其上时,出射光仍为平行光,只是光束方向向底边偏转了一角度(n-1)α,试根据这一事实,导出光束的位相变换函数t。解:如图所示,设入射平行光与Z轴成θ角入射,按傍轴条件,θ角很小,入射到光楔上的光场为)exp()sinexp(θjkxAθjkxAU1通过光楔后的出射光场为αnθjkxAαnθjkxAU112expsinexp其中–(n-1)α表示偏转是顺时针方向,即向底边偏转,又根据出射光场,入射光场和光楔变(x,y)θδ=-(n-1)α9换函数三者的关系12tUU有)exp(expθjkxtAαnθjkxA1于是有])(exp[αnjkt1。

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