搜索
1光电互感器双线性插值法对光电传输进行运放的探讨游克清（平潭县供电有限公司）[摘要]本文介绍了双线性插值法的计算方法，关键词：光电互感器在线测试仪35KV高低压变比测试仪光电互感器；数字式；1引言双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数f在点P=(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11=(x1,y1)、Q12=(x1,y2),Q21=(x2,y1)以及Q22=(x2,y2)四个点的值。首先在x方向进行线性插值，然后在y方向进行线性插值。与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法并不是线性的，而是是两个线性函数的乘积。线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。2光电互感器双线性插值法光学电压互感器是一种全电压、单晶体的光学互感器,通过电极直接把高压加到晶体两端,区别于采用分压方式的部分光学电压互感器,也不同于利用测量电流来间接测量电压的互感器,是一种全新的高压测量方式。光学传感器的主体是在透振方向相互正交的起偏器P1和检偏器P2之间,放上一块KDP一类能产生泡克耳斯效应的电光晶体,在晶体的端面镀上一层透明电极。当在与光传播方向平行的纵向上未加电场时,通过P1,P2及电光晶体的光的振动方向和强度是不会发生变化的;当在电光晶体上加上与光传播方向平行的纵向电场后,将改变原来光的振动方向,而且光强随外加电场的变化而发生相应的变化。如果定义I为输出光强,I0为输入光强,则按照电光调制的原理,可以得到透射率T随外加电压V而变化的公式:T=I/I0=sin(Δφ/2)^2=sin(πV/2Vπ)^2(1)式中:Δφ为两束偏振光的相位差;Vπ为晶体半波电压,它是电光晶体的一个主要特性。2由式(1)可知,光强的透射率与外加电场电压存在一定的关系,因此可以通过检测光强来测定外加的电场电压。3最临近插值和双线性插值法对光电传输进行运放nearest插值法具体程序如下：I1=imread('flower.jpg');%读入I=rgb2gray(I1);%可省去此行[nrows,ncols]=size(I);K=str2double(inputdlg('请输入缩放倍数(缩小请用小于1的倍数表示)','INPUTscalefactor',1,{'0.5'}));width=K*nrows;%K为缩放的倍数，确定输出矩阵大小height=K*ncols;J=uint8(zeros(width,height));%定义输出矩阵widthScale=nrows/width;heightScale=ncols/height;forx=5:width-5%为防止矩阵溢出而选择的参数5fory=5:height-5xx=x*widthScale;%xx，yy为原坐标，x，y为新坐标yy=y*heightScale;if(xx/double(uint16(xx))==1.0)&(yy/double(uint16(yy))==1.0)J(x,y)=I(int16(xx),int16(yy));%若yy为整数，则直接赋值过去elsea=double(round(xx));b=double(round(yy));%若不是整数四舍五入后把临近值赋过去J(x,y)=I(a,b);endendendimshow(I);%输出figure;imshow(J);%输出二、双线性插值法bilinear插值法具体程序：I=imread('flower.jpg');%读入[nrows,ncols]=size(I);%读取K=str2double(inputdlg('pleaseinputscalefactor(mustbetween0.2-5.0)','INPUTscalefactor',1,{'0.5'}));width=K*nrows;height=K*ncols;J=uint8(zeros(width,height));widthScale=nrows/width;heightScale=ncols/height;3forx=5:width-5%5是为了防止矩阵超出边界溢出fory=5:height-5xx=x*widthScale;%xx,yy为原坐标，x,y为新坐标yy=y*heightScale;if(xx/double(uint16(xx))==1.0)&(yy/double(uint16(yy))==1.0)J(x,y)=I(int16(xx),int16(yy));%若xx，yy为整数，直接赋值elsea=double(uint16(xx));b=double(uint16(yy));x11=double(I(a,b));%x11-I(a,b)x12=double(I(a,b+1));%x12-I(a,b+1)x21=double(I(a+1,b));%x21-I(a+1,b)x22=double(I(a+1,b+1));%x22-I(a+1,b+1)J(x,y)=uint8((b+1-yy)*((xx-a)*x21+(a+1-xx)*x11)+(yy-b)*((xx-a)*x22+(a+1-xx)*x12));%用双线性插值计算公式计算endendendimshow(I);figure;imshow(J);4双线性插值法对光电传输进行运放近似解的外推方法电磁场的非线性边值问题在数学上属变系数椭圆边值问题，因而我们首先考虑变系数椭圆边值问题有限元近似解的外推方法。对变系数椭圆边值问题其中，,变系数aij、a≥0连续可微，i，j=1,2，…，n。假定Ω的边界Ω分段属于三次连续可微，且在角点是局部凸的(包括凸多边形和光滑域)，则这个边值问题在Hilbert空间H10∩H2有唯一解，且‖u‖2,Ω≤c‖f‖0，Ω4令Sh为在Ω内的分段线性连续函数集合，即ShH10(Ω)。定义对Ω进行三角单元剖分πH，令MH为与剖分相应的节点集，则原变系数椭圆边值问题的线性有限元解uH∈Sh满足Bh(uH,ν)=fh(ν)ν∈Sh即Bh(u-uH,ν)=0ν∈Sh细分πH，使得细分后新增加的节点为πH单元中对应边的中点，得到一新的三角剖分πh，令Mh为细分后新增加的节点集，对应的线性有限元解uh∈Sh/2，将细分后的节点集确定为Mh=Mh/MH，则在三角单元顶点上定义有限元外推解Euh=(4uh-uH)/3z∈Mh假设z1，z2∈MH为三角单元两相邻的顶点，且其中至少有一个顶点不在边界上，在它们的中点z12=(z1+z2)/2∈Mh上定义有限元外推解我们由此可得定理1：在以上的条件下，如剖分是没有内极点的分片强正规三角剖分，且u∈W3，∞∩H10，则如下的有限元外推解的误差估计式成立有关的数学证明见文献。54.2有限元外推插值的有关理论在低阶有限元解的基础上，采用在单元内构造高阶插值函数的方法，来提高待求函数的精度，使待求位函数及场函数的整体逼近程度有进一步的提高。在剖分πH中将三角单元分成4个全等的小三角形而得到部分πh，uH为πH的线性有限元解(即按一阶插值有限元计算所得的解)，i′H表示πH上的分片二次插值算子，取则插值后，有限元解的导数有超收敛即线性有限元解在三角单元内的导数本来只有一阶收敛，但对该有限元解进行二次插值后，导数便具有二阶超收敛。将有限元外推法和有限元插值法相结合，我们称为有限元外推插值法，有定理2：对于分片强正规三角剖分，分片二次插值后导数有二阶超收敛，则有限元外推插值的导数有3阶超收敛，即‖u*-u‖1≤ch3‖1nh‖式中u*——有限元外推解有关的数学证明见文献［1，3，4］。4.3计算非线性场的有限元外推插值法计算格式将上述变系数椭圆边值问题的有限元外推插值法运用于二维非线性电磁场边值问题(此时x1=x,x2=y)。若在区域Ω上网格剖分是分片强正规的，当我们分别对初次剖分和加密一次细分场域基础上所得的非线性有限元方程进行计算，再以这些结果进行外推插值计算，就可得到非线性场有限元外推插值法的计算结果。对图1所示的计算区域Ω，先采用较粗略的三角单元剖分πH，得到E个单元，n个节点，6加密剖分后为πh，它有4E个单元，N个节点。设△123是πH中的某一三角元，将△123的各边中点分别相连，便得到细分πh的四个单元△165，△624，△456，△543，见图1。又设细分前△123的各节点位值的线性有限元解为uHi(i=1，2，3)，细分后各节点位值的线性有限元解为uhi(i=1，2，…，6)，根据外推计算公式，可得单元△123中各节点位值的外推解ui为将其推广到整个域Ω，可得到求解全域位值外推解的矩阵形式图1Fig.17式中u——有限元外推解的N阶列矢量uH——粗分线性有限元解的n阶列矢量uh——为加密剖分后线性有限元解的N阶列矢量O——n×(N-n)阶零矩阵I——(N-n)阶单位阵B——(N-n)×n阶矩阵取I1为n阶单位矩阵，则的元素为粗剖分单元边的中点(如节点6)与该边的顶点(节点1，2)称为关联，很显然，粗剖分单元边中点仅与该边的两个顶点相关，而与其余节点不关联。因加密剖分新增加的节点为粗剖分单元边的中点，所以B矩阵中，每行只有两个非零元素。对剖分πH的单元运用二次插值，其插值函数值为式中ui——单元上的有限元解(i=1，2，3，4，5，6)Ni——插值基函数若上式中的ui用有限元外推解代入，便形成了有限元外推插值算法。在计算非线性场问题时，对于含有非线性媒质的场域进行粗分和加密一次剖分，分别导出相应线性有限单元上的非线性有限元方程，然后用牛顿拉夫森迭代法计算这两个非线性方程组，再根据计算结果进行外推插值计算。5算例分析设三种均匀媒质构成的二维静磁场区域Ω=Ω0+Ω1+Ω2，其尺寸如图2所示，单位为cm。内部区域Ω0为载流导体媒质，电流密度J=20.0A/cm2，磁阻率为ν0=0.80×104A/(T.cm)；区域Ω28为磁阻率ν2=0.00008×104A/(T.cm)的线性媒质；区域Ω1为非线性铁磁媒质，不饱和时磁阻率为ν=0.0005×104A/(T.cm)，其磁化曲线如表1。图2从图2中可知，所求场域沿x和y轴都具有对称性，因而只须计算其四分之一场域即可。我们取图2中第一象限的区域为计算区域，因区域Ω2的媒质磁导率为空气磁导率的10000倍，在求解时近似认为Ω2区域以外已没有磁场，故可假设外边界Ω为一零值等矢量磁位线。又J=Jk，则矢量磁位A=Ak。对于所取计算区域，其边值问题如下9式中Ω01，Ω12——Ω0与Ω1和Ω1与Ω2的交接面Ω2——对称边界面将求解区域粗剖分为20个节点，24个三角形单元，在此基础上加密剖分。运用有限元外推插值法(相应剖分为24和96个三角单元)和线性有限元法(相应剖分为394个三角单元)计算磁场。表2和表3分别列出了不同点的矢量磁位和对称边界2上磁场强度切向分量的计算值，图3和图4分别示出了以媒质分界面连续性条件考察的计算精确度(设A、B分别表示场量在分界面两侧的切向分量值，相对误差。表2不同点矢量磁位的比较坐标x=1.0cmy/cm线性有限元法(24单元，20节点）线性有限元法(96单元，63节点)有限元外推插值法线性有限元法图3两种媒质分界面上(x=2.0cm)Ht的误差分布曲线1.线性有限元法2.有限元外推插值法表3两种方法在第二类齐次边界2上的比较坐标x=0.0y/cm有限元外推插值法Hy值/(A.cm-1)线性有限元法10Hy值/(A.cm-1)0.31.4252.450.80.152.951.33.5254.851.87.3048.4872.30.110.2132.80.1360.272坐标x=0.0x/cm有限元外推插值法Hx值/(A.cm-1)线性有限元法Hx值/(A.cm-1)0.20.6343.140.71.242.691.20.0340.2681.70.230.372.20.0080.05图4两种媒质分界面上(x=1.