优化分析-MATLAB

四个函数：fminbnd；fminsearch；fminunc；fmincon。有约束的一元函数的最小值单变量函数求最小值的标准形式为)x(fminxsub.to21xxx在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。函数fminbnd格式x=fminbnd(fun,x1,x2)%返回自变量x在区间21xxx上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x=fminbnd(fun,x1,x2,options)%options为指定优化参数选项[x,fval]=fminbnd(…)%fval为目标函数的最小值[x,fval,exitflag]=fminbnd(…)%xitflag为终止迭代的条件[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…)%output为优化信息说明若参数exitflag0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。例5-2计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。x3exlogxxcosx)x(f解：[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)x=0.5223fval=0.3974exitflag=1output=iterations:9funcCount:9algorithm:'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'例5-3在[0，5]上求下面函数的最小值1)3x()x(f3解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：functionf=myfun(x)f=(x-3).^2-1;保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：x=fminbnd(@myfun,0,5)则结果显示为：x=35.3.2无约束多元函数最小值多元函数最小值的标准形式为)x(fminx其中：x为向量，如]x,,x,x[xn21在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。命令利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值函数fminsearch格式x=fminsearch(fun,x0)%x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x=fminsearch(fun,x0,options)%options查optimset[x,fval]=fminsearch(…)%最优点的函数值[x,fval,exitflag]=fminsearch(…)%exitflag与单变量情形一致[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(…)%output与单变量情形一致注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。例5-4求222132131xxx10xx4x2y的最小值点解：X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0])结果为X=1.00160.8335或在MATLAB编辑器中建立函数文件functionf=myfun(x)f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;保存为myfun.m，在命令窗口键入X=fminsearch('myfun',[0,0])或X=fminsearch(@myfun,[0,0])结果为：X=1.00160.83355.3.3命令利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值函数fminunc格式x=fminunc(fun,x0)%返回给定初始点x0的最小函数值点x=fminunc(fun,x0,options)%options为指定优化参数[x,fval]=fminunc(…)%fval最优点x处的函数值[x,fval,exitflag]=fminunc(…)%exitflag为终止迭代的条件，与上同。[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…)%output为输出优化信息[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…)%grad为函数在解x处的梯度值[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)%目标函数在解x处的海赛（Hessian）值注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。例5-5求222121xxx2x3)x(f的最小值。fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';x0=[11];[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)结果为：x=1.0e-008*-0.75910.2665fval=1.3953e-016exitflag=1output=iterations:3funcCount:16stepsize:1.2353firstorderopt:1.6772e-007algorithm:'medium-scale:Quasi-Newtonlinesearch'grad=1.0e-006*-0.16770.0114hessian=6.00002.00002.00002.0000或用下面方法：fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')fun=Inlinefunction:fun(x)=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2x0=[11]；x=fminunc(fun,x0)x=1.0e-008*-0.75910.26655.3.4有约束的多元函数最小值非线性有约束的多元函数的标准形式为：)x(fminxsub.to0)x(C0)x(CeqbxAbeqxAequbxlb其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。函数fmincon格式x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fmincon(…)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(…)参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线性不等式约束bxA，若没有不等式约束，则取A=[]，b=[]；Aeq、beq满足等式约束beqxAeq，若没有，则取Aeq=[]，beq=[]；lb、ub满足ubxlb，若没有界，可设lb=[]，ub=[]；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束0)x(C和等式约束0)x(Ceq分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：x=fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function[C,Ceq]=mycon(x)C=…%计算x处的非线性不等约束0)x(C的函数值。Ceq=…%计算x处的非线性等式约束0)x(Ceq的函数值。lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。output输出优化信息；grad表示目标函数在x处的梯度；hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。例5-6求下面问题在初始点（0，1）处的最优解min21212221x5x2xxxxsub.to0x)1x(22106x3x221解：约束条件的标准形式为sub.to0x)1x(2216x3x221先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：function[c,ceq]=mycon(x)c=(x(1)-1)^2-x(2);ceq=[];%无等式约束然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)';%目标函数x0=[01];A=[-23];%线性不等式约束b=6;Aeq=[];%无线性等式约束beq=[];lb=[];%x没有下、上界ub=[];[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)则结果为x=34fval=-13exitflag=%解收敛1output=iterations:2funcCount:9stepsize:1algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'firstorderopt:[]cgiterations:[]lambda=lower:[2x1double]%x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。upper:[2x1double]%x上界有效情况，为0表示约束无效。eqlin:[0x1double]%线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。eqnonlin:[0x1double]%非线性等式约束有效情况。ineqlin:2.5081e-008%线性不等式约束有效情况。ineqnonlin:6.1938e-008%非线性不等式约束有效情况。grad=%目标函数在最小值点的梯度1.0e-006*-0.17760hessian=%目标函数在最小值点的Hessian值1.0000-0.0000-0.00001.0000例5-7求下面问题在初始点x=(10,10,10)处的最优解。Min321xxx)x(fSub.to72x2x2x0321解：约束条件的标准形式为sub.to0x2x2x32172x2x2x321fun='-x(1)*x(2)*x(3)';x0=[10,10,10];A=[-1-2-2;122];b=[0;72];[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)结果为：x=24.000012.000012.0000fval=-3456