优质课选修4-4第二讲_参数方程(圆锥曲线的参数方程)

第二讲参数方程(),().xftygt（1）并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数为参数）(sincosryrx为参数）(sincosrbyrax复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:yxorM(x,y)0M例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：——离心角一般地：2,012222aybxsincosaybx在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：——离心角一般地：2,012222aybxsincosaybx在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab练习把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)2cos(1)3sinxycos(2)4sinxysec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.22221xyab22sec1tan⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.•抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。•步骤：（1）消参；•（2）求定义域；例4(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。223131222xtxtytyt－（）参数方程是或思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？)(sin2cos3{为参数yx为参数）(sincosryrx为参数）(sincosrbyrax复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。)(sin2cos3{为参数yx;)0(142222一个参数方程为的我们得到了椭圆由例babyax)(sincos{为参数byax参数方程。轴上的椭圆的，焦点在这是中心在原点xO小结椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：——离心角一般地：2,012222aybxsincosaybx在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab练习把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy直线的参数方程(标准式）)(sinyycosxx00为参数直线的参数方程ttt思考：（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？（2）参数t的取值范围是什么？（3）该参数方程形式上有什么特点？为参数）(sincosrbyrax2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:0,MMtelt由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解:0MMte0MMte1ee又是单位向量，0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记注意向量工具的使用.此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的点方向向下;若t=0,则M与点M0重合.MM0MM0exM(x,y)OM0(x0,y0)y|t|=|M0M|0MMte0MMtet设M1M2它们所对应的参数值分别为t1,t2.（1）|M1M2|＝（2）M是M1M2的中点，求M对应的参数值21tt221tt·t=.,,并求出最小值的距离最小直线到使点上求一点在椭圆例0102149122yxMMyx因为椭圆的参数方程为解为参数,sin,cos23yx.sin,cos23的坐标为所以可设点M距离为到直线的得到点由点到直线的距离公式M,51043|sincos|dxyO51054535|sincos||,cos|105510.sin,cos5453000满足其中.,,500取最小值当由三角函数性质知d.sinsin,coscos,5822593300此时.,,,501025859的距离取最小值到直线点时位于当点所以yxMMxyOM(3cos,2sin)解：因为椭圆的参数方程为3cosy2sinx(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为14922yx例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.dsec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.22221xyab22sec1tan⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.•抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y2121212121212121,1,,,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、、、、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线()c2122212122222121121212112222)2,2(),2,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于2(2008·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．解因椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ2π.因此S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝232cosφ＋12sinφ＝2sinφ＋π3.所以，当φ＝π6时，S取最大值2.14922yx例1、已知椭圆上点M(x,y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：),y,y(288P设2882|4yy|d则分析2：),sin,cos(P22设222|4sincos|d则分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy例3、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。练习已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.)sincos(baA，)20(abab22sin2224ba22max4baL)0(12222babyax例4求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是S、Lsincos4||||4baEAFAS4a当且仅当时，，abS2maxsin4cos4|)||(|4baEAFAL此时α存在。例6θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段116922yx例5四边形ABCD内接于椭圆其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。，cos8211021cos1221121BAxxx3sin4211921sin621121BAyyy13614422yx21MBAM例7已知点A在椭圆上运动，点B(0,9)、点M在线段AB上，且,试求动点M的轨迹方程。sin6cos12，解：由题意知B(0,9),设A(),并且设M(x,y)3sin4cos8yx(α是参数)116)3(6422yx消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:)0(12222babyax例6椭圆与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。)sincos(ba，解:设椭圆上的点P的坐标是(α≠0且α≠π),A(a,0)aabkAPcos0sin，cossinabkOP而OP⊥AP，1cos0sincossinaabab0coscos)(22222baba222cosbab1cos（舍去），1cos1因为11222bab所以11122ee可转化为212e解得122e于是B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ29y422x练习:1θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段____?__________)(,0cos3sin2cos42222通方程为，那么圆心的轨迹的普为参数、已知圆的方程为yxyx1)sin()cos2(22