滤波器组基础

滤波器组基础滤波器组:是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的相加后的输出一、滤波器组的基本概念)(nx)(0zH)(1zH......)(1zHM)(0nx)(1nx)(1nxM)(0zG)(1zG......)(1zGM)(ˆnx)(ˆ1nx)(ˆ1nxM)(ˆ0nx0j|(e)|kHM2M4k=1)1(2MM2k=2k=M-1k=0k=00j|(e)|kHM2M4k=1)1(2MM2k=2k=M-1k=0滤波器组频响无混叠滤波器组频响有混叠分析滤波器组综合滤波器组滤波器组设计的重要任务：综合应用分析滤波器组和综合滤波器组来抵消混叠失真。滤波器组设计的重要任务：综合应用分析滤波器组和综合滤波器组来抵消混叠失真。)(nx)(0zH)(1zH......)(1zHM)(0nx)(1nx)(1nxMMMM)(0nv)(1nv)(1nvM)(0zG)(1zH......)(1zHM)(ˆnx)(1nu)(1nuM)(0nuM)(0nvM)(1nvM)(1nvM希望)()(ˆnxnx不可能可能存在的失真（1）混叠失真：滤波器组的频带不能完全分开、采样率fs不大于fm的M倍（2）幅度失真与相位失真：滤波器组在通带内幅度特性不平相位特性不是线性的（3）抽取后进行处理（如编码）所产生的失真不讨论)(nx)(0zH)(1zH......)(1zHM)(0nx)(1nx)(1nxMMMM)(0nv)(1nv)(1nvM)(0zG)(1zH......)(1zHM)(ˆnx)(1nu)(1nuM)(0nuM)(0nvM)(1nvM)(1nvM0()()xncxnn如果()xn式中c和n0是常数，即是x(n)纯延迟后的信号，且只在幅度上发生倍乘变换，则称是x(n)的准确重建（PerfectReconstruction，PR）。()xn实现PR的滤波器组称为PR系统滤波器组的分类按通道数目分类两通道滤波器组按滤波器组中滤波器的关系分类正交滤波器组双正交滤波器组DFT调制滤波器组余弦调制滤波器组……多通道滤波器组二、滤波器组的分类及有关滤波器组1、最大均匀抽取滤波器组kkNHzHzWkN0()()0,1,2...1设某一滤波器组满足NHzHzHz011(),(),...,(),称该滤波器组为均匀滤波器组。如果作M倍抽取，且M=N则称该滤波器组为最大均匀抽取滤波器组在均匀滤波器组中是由低通均匀位移得到),(),...,(11zHzHNnkMkhnhnkM2πj0()()e1,2...1又称为DFT滤波器组复数maximallydecimateduniformfilterbank或2jj0(e)(e)0,1,2...1kNkHHkN实系数M通道滤波器组的获得（1）分别设计011(),(),...,()MHzHzHz（2）利用余弦调制2、正交镜像滤波器组H0(z)↓2↑2G0(z)H1(z)↓2↑2G1(z)()xnˆ()xn0()vn1()vn令M=2得两通道滤波器组HHjj10(e)(e)j0(e)Hj1(e)Hπ2π若H0(ej)与H1(ej)无重叠，则H0(ej)与H1(ej)正交两通道滤波器组的幅频特性关于/2镜像对称称为正交镜像滤波器组QuadratureMirrorfilterbank，QMFB若H0(ej)与H1(ej)有少量重叠，也称为QMFB推广到最大抽取均匀滤波器组，若它们的幅频响应仅有少许重迭，也称它们为QMFB。j1(e)MHj0(e)H0π3、第M带滤波器DjDjjzEzzH101,,1,0,DjzjDlhzEllj其中jenhDnj如果其第0相恒为一常数，即将分析滤波器组写成多相形式11()()MjMjjHzczEz那么，其单位抽样响应必有0)()(0cneMnh其它0n满足上式的滤波器称为第M带滤波器Mthfilter（M=3nc()hn↑L=MH(z)()xn()yn)()()()()(11MMlMllMzXzEzczXzHzY)()(ncxMny将x(n)作L=M倍的插值后，再经一个Mth滤波器，则x(n)中所有的值乘以c后变为y在Mn处的值若c=1，则()()yMnxn在n的非M整数倍处，是插值的结果。保证x(n)的所有值都无失真地传给了y(n)定理若H(z)是一个Mth滤波器，则10()1MkMkHzW若令)()(0zHzH)()(kMkzWHzH1,,1,0Mk2π1j()0(e)1MkMkH则H0，H1，…HM-1的频率响应之和等于14、半带滤波器在Mth滤波器中，令M=2，则所得滤波器称为半带滤波器)()(211zEzczH)12()(1nhne0()(2)0cenhn其它0nnc()hn例11()Ezz1()1Ezz1()1jHzz3()1Hzz1()1Hzzz1()jEz因果半带滤波器非因果半带滤波器复系数半带滤波器半带滤波器一定是正交镜像滤波器正交镜像滤波器不一定是半带滤波器根据Mth滤波器10()1MkMkHzW2π1j()0(e)1MkMkH或若令c=1/2，则()()1HzHz或jj(π)(e)(e)1HH记01()(),()()HzHzHzHz设H(z)具有线性相位，则01()()HzHz的增益在整个频带内为1因为H0和H1关于/2对称在QMFB中并不要求jj01(e)(e)1HH半带滤波器的特点（1）半带滤波器的通带与阻带的波纹相等（2）半带滤波器的频率响应关于/2对称（3）除n=0外，半带滤波器h(n)的所有偶序号相为0（4）h(n)的长度N=4J-1，总是为奇数（5）由于半带滤波器h(n)有近一半数值为0，可有效减少计算半带滤波器的设计5、互补型滤波器A严格互补(strictlycompementary,sc)滤波器一组滤波器H0，H1，…HM-1，若它们的转移函数满足010()MnkkHzcz称H0，H1，…HM-1是一组严格互补滤波器若利用H0，H1，…HM-1把x(n)分解成M个子带信号，再相加，有010110()()()()...()()()()()MnMkkXzHzXzHzXzHzXzHzXzcz有利于信号的精确重建Mth滤波器、半带滤波器一定是严格互补滤波器严格互补滤波器不一定是Mth滤波器、半带滤波器B功率互补(powercompementary,PC)滤波器一组滤波器H0，H1，…HM-1，若它们的频率响应满足120|()|MjkkHec称H0，H1，…HM-1是一组功率互补滤波器定理给定一转移函数H(z)其多相形式DjDjjzEzzH10令()()()GzHzHz其中1()*()HzHz当且仅当G(z)是一Mth滤波器时，E0(z)，E1(z)，…EM-1(z)是功率互补的证明略