专题：三角形的五心汇总

专题:三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r的计算：设三角形面积为S，并记p=12(a+b+c)，则r=Sp．特别的，在直角三角形中,有r=12(a+b－c)．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A类例题例1证明重心定理。证法1如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EF∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二ABCOABCDEFGABCDEFIaIKHEFDABCMABCDEFG处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12BC，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．链接证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．例2证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。证明如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．链接（1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。IHGEDFABCFEB'A'C'DCBAABCOIKHEFDABCM情景再现1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B类例题例3过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析分析点M和N的性质，即能得到解题思路。证明由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC，故点M是△P'BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有∠BP'P=12∠BMP=12∠BAC，∠PP'C=12∠PNC=12∠BAC.∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.例4AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A'，C'，D'，E'，F'.易证AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'，∴EE'=DD'+FF'.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例5设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)证明连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知13212sinHAAHA=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1∥=A1H2，故得H1H2∥=A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对链接本题可以引出更多结论，例如P'P平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等．ABCPPMN'GNMCBAAA'FF'GEE'D'C'PCBD.OAAAA1234HH12称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．情景再现3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.C类例题例6H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析只须证明AA1=BB1=CC1即可.证明设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A21A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=(12AH1)2-(AH-12AH1)2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而ABHAHsin=2RAH2=4R2cos2A,Aasin=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A21A=r2+bcacb2222·bc-(4R2-a2)=12(a2+b2+c2)-4R2+r2.HHHMABBAABCCCF12111222DE同理，21BB=21(a2+b2+c2)-4R2+r2，21CC=12(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例7已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)证明如图，显然EF中点P、圆心Q，︵BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=sinr.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK=AQQNMQ=sin/)2(rrrR=)2(sinrR.由Rt△EPQ知PQ=rsin.∴PK=PQ+QK=rsin+)2(sinrR=R2sin.∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.说明在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.例8在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)证明设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).∵p(p-c)=12(a+b+c)·12(a+b-c)=14[(a+b)2-c2]=12ab；(p-a)(p-b)=12(-a+b+c)·12(a-b+c)=14[c2-(a-b)2]=12ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=12(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由①及图形易证.AααMBCKNEROQFrPKrrrrOOO213AOECBabc例9M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明11qr·22qr=qr.(IMO-12)证明对任意△A'B'C'，由正弦定理可知OD=OA'·2'sinA=A'B'·'''sin2'sinBOAB·2'sinA=A'B'·2''sin2'sin2'sinBABA，O'E=A'B'·2''sin2'cos2'cosBABA.∴2'2''BtgAtgEOOD.亦即有11qr·22qr=2222BtgCNBtgCMAtgAtg=22BtgAtg=qr.例10锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.证明设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C.易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，同样可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)②∴BCHBHsin=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.A...'B'C'OO'EDBCOIAOGHOGHGOGH123112233同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+