约当标准形

第三节约当(Jordan)标准形简介™上一节定理1说明，n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。本节说明当只有m(mn)个线性无关的特征向量时,A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。一.约当块和约当形矩阵定义1形如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s21JJJJ%其中：叫做约当形矩阵，Ji叫做约当块。当J1=[λ1]，J2=[λ2]，…，Js=[λs]都是一阶约当块时，J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特例。A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵P，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλ=iiii11J%%Ji中的λi显然是A的特征值，但当i≠j时，λi和λj可能相等。然而，P中的列向量却并非都是A的特征向量。我们把与A相似的约当标准型矩阵称为A的约当标准形。约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法。⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==−s211JJJJAPP%定义2如矩阵A=(aij)的元素aij是λ的多项式，就称A为λ矩阵，记作A(λ)。例如A的特征矩阵λE−A是一个λ矩阵。λ矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为：1.矩阵的两行(列)对换位置。2.矩阵的某行(列)乘以非零常数；3.矩阵的某行(列)乘多项式ϕ(λ)加到另一行(列)；定义3λ矩阵A(λ)经初等变换化为B(λ)，称A(λ)和B(λ)是相抵的，记作A(λ)≌B(λ)。定理1任一个n阶矩阵A的特征矩阵A(λ)=λE−A都相抵于一个对角形λ矩阵，即且其中)5()(D)(d)(d)(d)AE()(An21λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλ≅−λ=λ%）（，，，6)n21k()(D)(kkA=λ=λ1.di(λ)（i=1，2，…，n）是首一多项式（即λ的最高次项系数为1）；2.di(λ)|di+1(λ)（即di+1(λ)=qi(λ)di(λ)，qi(λ)也是λ的多项式）（i=1，2，…，n）3.Ak(λ)和Dk(λ)分别表示A(λ)和D(λ)中全部k阶子式的最高公因式由定理的结论可知：Dk(λ)=d1(λ)d2(λ)…dk(λ)，(7)k=1，2，…，n，D1(λ)=D1(λ)=A1(λ)(8)Ak(λ)=Dk(λ)=Dk-1(λ)dk(λ)=Ak-1(λ)dk(λ)所以dk(λ)=Ak(λ)/Ak−1(λ),k=1,2,…,n.(9)由此可见，d1(λ)，d2(λ)，…，dn(λ)是由A(λ)=λE−A唯一确定的，它们称为A−λE的不变因子（简称为A的不变因子）。由于An(λ)=|λE−A|=Dn(λ)是λ的n次多项式，所以n个不变因子的次数和等于n例3求三阶矩阵的特征矩阵J(λ)=λE−J的不变因子。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a001a001aJ解[方法1]根据(8)式及(9)式dk(λ)=Ak(λ)/Ak-1(λ)求不变因子。先把的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后容易求得它们的最高公因式分别为：J1(λ)=1，J2(λ)=1，J3(λ)=(λ−a)3，于是得J(λ)的不变因子：d1(λ)=J1(λ)=1，d2(λ)=J2(λ)/J1(λ)，d3(λ)=J3(λ)/J2(λ)=(λ−a)3。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−−λ−−λ=−λ=λa001a001a)JE()(J[方法2]用初等变换，把J(λ)=λE−J化成(6.4.1)的形式。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−−λ−−λ=−λa001a001a)JE(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−−λ−λ−⎯⎯⎯⎯→⎯−λ×+a001a)a(0102)a(2c1c⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−−λ−⎯⎯⎯⎯→⎯↔−λ×+a001)a(000122c1c)a(1r2r故J(λ)=λE−J的不变因子为1，1，(λ−a)3。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−λ−−⎯⎯⎯⎯→⎯−λ×+a)a(010000132)a(3c2c⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ−−⎯⎯⎯⎯→⎯↔−λ×+33c2c)a(2r3r)a(00010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ⎯⎯⎯→⎯−×−×3)1(2r)1(1r)a(00010001由于n次多项式在复数域上一定可以分成n个一次因式的乘积，因此λ−a的次数大于等于1的不变因子都可以分解为若干个一次因式幂的乘积，这些一次因式的幂称为A的初等因子。但是A(λ)的初等因子中,同样的一次因子的幂可能重复出现。如例7中J(λ)=λE−J的初等因子为(λ−a)3。又如当)10()3)(1()3(111AE22⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−λ+λ−λ≅−λ时，A的初等因子为(λ−3)3，(λ−3)2，(λ+1)。定理2A～B的充分必要条件是λE−A≌λE−B。定理3A～B的充分必要条件是λE−A和λE−B有完全相同的初等因子。定理4若n阶矩阵A的特征矩阵λE−A的初等因子为则∑==λ−λλ−λλ−λk1iikmk2m21m1nm,)(,,)(,)(其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k21JJJJ~A%其中说明：1.由于λE−A存在初等因子，且由A唯一确定，又A的初等因子的次数和等于矩阵的阶数，因此由定理12可知，任一个n阶矩阵在复数域上都与一个约当标准形相似。2.在约当标准形J中改变约当块的排列次序，不影响λE−J的初等因子。因此，如果不考虑约当块的排列次序，矩阵A的约当标准型J是唯一的。3.由定理4可知，A与对角阵相似的充要条件是λE−A的初等因子都是一次因式。。k,,2,1i,11Jimimiiii%%=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλ=×例4已知试求矩阵A，B的约当标准形。⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−λ+λ−λ≅−λ22)3)(1()3(111AE⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+λ+λ≅−λ4)3)(4(1111BE解有已知条件可知，（λE−A）的初等因子为(λ−3)2，(λ−3)2，(λ+1)；（λE−B）的初等因子为(λ+3)4，(λ+4)。所以或⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=130133013J~A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=301313013J~A或⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=301330131J~A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=43000130001300013J~B或例5求的约当标准形。⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=30001300013000134J~B⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=284014013A解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−λ+λ−λ−≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−+λ−−λ=−λ2828801)1(010284014013AE2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−λ−λ≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−λ−λ−≅228800)1(00012028800)1(01022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−−λ+λ≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+λ−−λ≅2440)1)(2(4410000124400)1(000122所以λE−A的初等因子是λ+2，(λ−1)2，因此A的约当标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−λ+λ≅2)1)(2(00010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−200001011101100002或例6设问：A是否与对角阵相似？如不与对角阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为约当标准形。解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=122020021A)2()1(122020021AE2−λ−λ=−λ−λ−−λ=−λA的特征值为λ1=λ2=1，λ2=2。二重特征值λ1=λ2=1的特征向量只有一个，即x1=(0，0，1)′故A不能与对角阵相似.求A的约当标准形可按例3或例1的解法,得即存在可逆矩阵P，使得P−1AP=J。设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010011J~A[],,,P321ξξξ=则AP=PJ，于是其中：ξ1是对应于λ1=1的特征向量，即ξ1=X1=[0，0，1]′；ξ3是A的对应于λ2=2的特征向量，易得ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2即(A−E)ξ2=ξ1。便可解得。[][],200010011,,,,A321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ξξξ=ξξξ33212112A,A,Aξ=ξξ+ξ=ξξ=ξ因此取就可使由于特征向量ξ1,ξ2的取法可以不同，从而ξ2也可不同，故P不是唯一的。由此例求P的方法可知，如果A的约当标准形由S个约当块组成，则A有S个线性无关的特征向量；反之亦然。,6011002210],,[P321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=ξξξ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−200010011JAPP1但是，读者必须注意，我们求得了A的S个线性无关的特征向量，并不能立即写出它的S个约当块。例如，λi是A的四重特征值，A属于λi的线性无关的有两个，A的约当标准形中以λi为主对角元的约当块必有两块，但它们可能有两种情况：当然对于给定的A，必是二者之一。⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλiiiiiiii0010010100或