传热学第4章

第四章导热问题的数值解法4－1数值解法的基本思想与步骤1.基本思想：用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。分析解法的优点：求解过程的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。数值计算方法－有效解决复杂问题的方法；具有一定精度的近似方法数值传热－Numericalheattransfer2数值解法：有限差分法（finite-difference）有限元法(finite-element)边界元法（boundary-element）分子动力学模拟（MD）2.基本步骤:（1）对实际导热问题进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；（2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和单值性条件；第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。3（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点,每个节点就代表以它为中心的子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域的温度；（4）建立节点温度代数方程组；（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。44－2有限差分法的基本原理以常物性、无内热源的二维稳态导热为例:用有限差分近似微分，用有限差商近似微商。dttdxx将偏微分方程转化差分代数方程。1.求解域的离散化1)子区域的划分选择网格宽度x、y（步长），划分子区域。步长大小根据问题的需要而定。2)节点的选择选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点，标定节点位置，如(m,n)、(m+1,n)等。dxx52.节点温度差分方程的建立建立差分方程的方法：泰勒级数展开法、多项式拟合法、热平衡法、控制容积积分法。1)泰勒级数展开法对节点（m+1,n）和（m-1,n）分别写出t在(i,j)节点的泰勒级数展开式：2342341,,234,,,,ΔΔΔΔ2!3!4!mnmnmnmnmnmnxxxttttttxxxxx将上两式相加，略去高阶项，得21,1,,22,2(Δ)mnmnmnmnttttxx中心差分格式2342341,,234,,,,ΔΔΔΔ2!3!4!mnmnmnmnmnmnxxxttttttxxxxx6同样可得y方向得二阶偏导数2,1,1,22,2(Δ)mnmnmnmnttttyy对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为22220ttxy将以上两式代入，得1,1,,,1,1,22220(Δ)(Δ)mnmnmnmnmnmnttttttxy取x=y，得,1,1,,1,114mnmnmnmnmnttttt7根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。(1)内部节点温度差分方程对于无内热源的二维稳态导热，内部节点(m,n)所代表的元体在导热过程中的热平衡wesn0对于垂直于画面方向单位宽度，1,,1,,mnmnmnmnttttyyxx,1,,1,0mnmnmnmnttttxxyy选择x=y2)热平衡法8上式可整理为可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。(2)边界节点温度差分方程对于具有第三类边界条件的边界节点(m,n)所代表的元体，根据其热平衡，1,,f,mnmnijttyhyttx,1,,1,022mnmnmnmnttttxxyy选择步长x=y，将上式简化,,1,1,,1,114mnminmnmnmnttttt91,,f,,1,,1,11022mnmnmnmnijmnmnhxtttttttt令hxBi称为网格毕渥数。Bi上式可整理为1,,1,1,f22420mnmnmnmntttBitBit1,,1,f2220mnmnmnttBitBit,11,1,,1,f22620mnmnmnmnmnttttBitBit第三类边界条件下的外拐角边界节点：第三类边界条件下的内拐角边界节点：103.节点温度差分方程组的求解方法绝热边界节点：,1,11,,240mnmnmnmntttt运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种：(1)简单迭代法(2)高斯-塞德尔迭代法11(1)简单迭代法111122111jjnnatatatatb211222222jjnnatatatatb1122nnnjjnnnnatatatatb其中aij、bi为常数，且aij0。改写为显函数形式：1112211111jjnntbatatata2221122221jjnntbatatata11(1)11nnnnjjnnnnntbatatata假设001,,ntt111,,ntt221,,ntt1,,kkntt1maxkkiitt12(2)高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据。11000112211111jnjntbatatata21110022122221jnjntbatatata1111111(1)1njnnnnjnnnntbatatata高斯-塞德尔迭代法比简单迭代法收敛速度快。134-3非稳态导热问题的数值解法非稳态导热数值解法的特点：（1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；（2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；（3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；（4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。14以第三类边界条件下常物性、无内热源大平壁的一维非稳态导热问题为例。1)求解域的离散2)节点温度差分方程的建立运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。空间步长为x，时间步长为,x、大小的选择需要保证节点温度方程求解的稳定性。表示空间节点n在i时刻（简称i时刻）的节点温度。int1.一维非稳态导热的数值求解：22ttax15（1）内部节点温度差分方程内部节点n所代表的控制容积在i时刻的热平衡：dU如果节点n的温度对时间的变化率采用向前差分，热平衡方程式可写成111iiiiiinnnnnnttttttAAAxcxx1iinntt1122iiinnntttax11122iiiiinnnnnatttttx2aFox令网格付里叶数内部节点温度方程的显式差分格式11112iiiinnnntFottFot16两点结论：(a)任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及其相邻节点在i时刻的温度由上式直接求出，不必联立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温度出发依次求出各时刻的节点温度；(b)必须满足显式差分格式的稳定性条件，即120Fo12Fo稳定性条件说明，一旦空间步长x或时间步长的数值确定之后，另一个步长的数值的就不能任意选择，必须满足稳定性条件。11112iiiinnnntFottFot17隐式差分格式：如果节点i的温度对时间的变化率采用向后差分，内部节点i所代表的控制容积的热平衡方程式可写成11111122iiiiinnnnnatttttx2aFox令网格付里叶数111iiiiiinnnnnnttttttAAAxcxx1iinntt1122iiinnntttax1iinntt1111122iiinnntttax18内部节点温度方程的隐式差分格式111ΔΔ1112iiiinnnnFotFottt隐式格式与显式格式的区别：节点n的下一时刻温度是用自身节点的当前时刻以及相邻节点的下一时刻温度来表示的，因此必须一次列出全部待求节点的差分方程并联立求解。隐式格式的计算工作量大，但不受上述稳定性条件的限制，即可以任意选择时间与空间步长。19(2)边界节点温度差分方程边界节点0所代表的控制容积在k时刻的热平衡：hdU如果节点0的温度对时间的变化率采用向前差分，热平衡方程式可写成11000f02iiiiiittttxAAhttAcx引进网格付里叶数2aFox和网格毕渥数上式写成显函数的形式hxBi101f02122iiiitFotBitBiFoFot边界节点温度方程的显式差分格式20同内部节点温度方程的显式差分格式的道理一样，上式必须满足显式差分格式的稳定性条件，即1220BiFoFo122FoBi因为，所以只要满足上式，自然满足内部节点温度方程显式差分格式的稳定性条件。因此上式是第三类边界条件下一维非稳态导热所有节点温度方程显式差分格式的稳定性条件。0Bi12Fo对比101f02122iiiitFotBitBiFoFot21如果节点0的温度对时间的变化率采用向后差分，热平衡方程式可写成11000f02iiiiiittttxAAhttAcx引进网格付里叶数2aFox和网格毕渥数上式写成显函数的形式hxBi111010221220kiikfFoFotFotFoBitt边界节点温度方程的显式差分格式边界节点温度方程的隐式差分格式111111000f02iiiiiittttxAAhttAcx22第四章小结（2）掌握有限差分法的原理;重点掌握以下内容：（3）能够根据导热问题的特点，合理地进行求解域的离散；(1)理解数值解法的基本思想，熟悉数值解法的基本步骤；（4）重点掌握热平衡法建立节点温度差分方程；23一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，tf1=tf2=t0=5℃；已知两侧对流换热系数分别为h1=11W/m2K、h2=23W/m2K,壁的导热系数=0.43W/mK，导温系数a=0.3437×10-6m2/s。如果一侧的环境温度tf1突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图形表示）。大作业要求：将全部计算内容（包括网格的划分、节点方程组、计算框图、程序及计算结果）用A4纸打印。